换路的概念及换路定律的内容.

2、换路的概念及换路定律的内容；重点：第12讲过渡过程及换路定律3、动态电路初始值的计算；1、过渡过程的定义；4、一阶RC电路的零输入响应。7.1过渡过程及换路定律一、过渡过程过渡过程的定义在实际电路中，经常遇到电路由一个稳定状态向另一个稳定状态的变化，尤其当电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化要经历一个时间过程，称为过渡过程。过渡过程产生的原因内因电路中还必须含有储能元件电感或电容，这是产生过渡过程的内因。外因电路的接通或断开，电路参数或电源的变化，电路的改接等都是外因。过渡过程的特点及影响电路的过渡过程一般比较短暂，但它的作用和影响都十分重要。有的电路专门利用其过渡特性实现延时、波形产生等功能；而在电力系统中，过渡过程的出现可能产生比稳定状态大得多的过电压或过电流，若不采取一定的保护措施，就会损坏电气设备，引起不良后果。因此研究电路的过渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。二、换路定律换路的定义电路的接通或断开，电路参数或电源的变化等，所有这些能引起电路过渡过程的电路变化统称为“换路”。n阶电路当电路中仅含一个独立的动态元件时，电路的方程将是一阶常系数微分方程，对应的电路称为一阶动态电路。当电路中含有两个独立的动态元件时，电路的方程是二阶常系数微分方程，对应的电路称为二阶电路。当电路中含有n个独立的动态元件时，电路的方程是n阶常系数微分方程，对应的电路为n阶电路。分析动态电路的一般方法根据KCL、KVL和元件的VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量（电压或电流）。此方法称为经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。几个规定：（1）换路瞬间记为t=0时刻；（2）用t=0-表示换路前的终了时刻；（3）用t=0+表示换路后的初始时刻。注意：（1）t=0-时刻电路尚处于稳态，对于直流电源激励下的电路，此时电容相当于开路，电感相当于短路；而t=0+时刻电路已经进入过渡过程，是过渡过程的开始时刻。（2）用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）及其（n–1）阶导数在t=0+时的值，也称初始值。换路定律的内容)0()0(CCuu)0()0(LLii说明在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变，这就是换路定律的内容。三、过渡过程初始值的计算对于初始值可按以下步骤确定：（1）先求换路前瞬间即t=0-时刻的uC（0-）或iL（0-）（这一步要用t=0-时刻的等效电路进行求解，此时电路尚处于稳态，电容开路，电感短路）；（2）根据换路定律确定uC（0+）或iL（0+）；（3）以uC（0+）或iL（0+）为依据，应用欧姆定律、基尔霍夫定律和直流电路的分析方法确定电路中其他电压、电流的初始值（这一步要用t=0+时刻的等效电路进行求解，此时，电容等效为电压值为uC（0+）的电压源，电感等效为电流值为iL（0+）的电流源）。【例12-1】下图（a）所示为直流电源激励下的含有电容元件的动态电路，已知US=100V，R1=R2=100Ω，R3=50Ω，开关S打在1位时，电路处于稳态。t=0时，S由1位打向2位进行换路，求此瞬间uC（0+）、i（0+）、uR2（0+）和uR3（0+）各为多少？解：选定各电压、电流参考方向如图所示。S打在1位时，电路处于稳态，电容相当于开路，此时uC（0-）=US=100Vt=0时，S由1位打向2位，根据换路定律，有uC（0+）=uC（0-）=100V此时电容相当于100V的电压源，作t=0+时的等效电路如（b）所示。由KVL得uC（0+）-uR3（0+）+uR2（0+）=0uC（0+）-[-R3i（0+）]+R2i（0+）=0A3250100100)0(032RRuiC）（uR2（0+）=R2i（0+）=100×（-2/3）=-66.7VuR3（0+）=-R3i（0+）=-50×33.3V【例12-2】下图（a）所示为直流电源激励下的含有电感元件的动态电路，已知US=20V，R1=10Ω，R2=30Ω，R3=20Ω，开关S打开时，电路处于稳态。t=0时S闭合，进行换路，求S闭合瞬间各电压、电流的初始值。解：选定各电压、电流参考方向如图（a）所示。S打开时，电路处于稳态，此时电感相当于短路，有A5.0301020)0(21SRRUiLt=0时，S闭合，根据换路定律，有iL（0+）=iL（0-）=0.5AS闭合时，电感相当于一个电流源，作t=0+时的等效电路如图（b）所示。可求得i1（0+）=iL（0-）=0.5AA2.02030205.0)0(3232RRRii3（0+）=iL（0+）-i2（0+）=0.5-0.2=0.3A由KVL得i1（0+）R1+uL（0+）+i2（0+）R2=US所以uL（0+）=US-i2（0+）R2-i1（0+）R1=20–0.2×30-0.5×10=9V7.2一阶RC电路的过渡过程一、RC电路的零输入响应零输入响应的定义：所谓零输入响应，是指换路后电路没有外加激励，仅由储能元件（动态元件）的初始储能引起的响应。零输入响应的实质是储能元件的放电过程。以下图所示电路为例，分析一阶RC电路的零输入响应。零输入响应分析：1、电压、电流变化规律上图（a）所示电路中，换路后，根据基尔霍夫定律及元件的VCR可得如下微分方程：0ddCCutuRC解之得tRCCtRCCAtu11eee)(其中A为待定的积分常数，可根据初始条件uC（0+）的值确定。在换路瞬间，由于uC（0+）=uC（0-）=U0，故有A=U0。所以，微分方程的解为：tRCCUtu10e)(（t≥0）表明：换路后电容电压uC随时间变化的解析式。从解析式可以看出，换路后，电容电压uC从初始值U0开始，按照指数规律递减，直到最终uC→0，电路达到新的稳态。uC的变化曲线如下图所示。以uC为依据，可求出换路后uR、iC（iR）的变化规律为tRCCRUtutu10e)()(tRCCCRUtuCti10edd)(结论：可见，换路后，电路中的电压、电流都是按照相同的指数规律进行变化。2、时间常数定义：令τ=RC，τ称为RC电路的时间常数。[τ]=[R][C]=Ω·F=sAsAVCAV物理意义：时间常数τ是表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。τ越大，过渡过程进行得越慢；反之，τ越小，过渡过程进行得越快。单位：分别取t=τ、2τ、3τ……不同的时间，求出对应的uC值如下表所列。由表可得：（1）当t=τ时，uC=0.368U0，这表明时间常数τ是电容电压uC从换路瞬间开始衰减到初始值的36.8%时所需要的时间。（2）从理论上讲，t=∞时，uC才衰减到0，过渡过程才结束，但当t=（3～5）τ时，uC已衰减到初始值的5%以下，因此实际工程当中一般认为从换路开始经过3τ～5τ的时间，过渡过程便基本结束了。【例12-3】下图所示电路中，已知US=20V，R1=4kΩ，C=1µF，R2=2kΩ，R3=6kΩ，C=1µF，开关S闭合时电路处于稳态。t=0时S打开，求电容电压uC和电路电流i的变化规律即解析式。解：选定电压、电流参考方向如图所示。S闭合时电路处于稳态，电容相当于开路，此时V1264620)0(313RRRUuSCt=0时，S打开，输入为零。S打开瞬间有uC（0+）=uC（0-）=12V电路时间常数τ=（R2+R3）C=（2+6×103×10-6=8×10-3s电容电压tCCutue)0()(tt1253108e12e12电路电流)125(e1210dd1256tCtuCi=-1.5×10-3e-125t=-1.5e-125tmA【例12-4】有一个C=40µF的电容器从高压电路上断开，断开时电容器的电压U0=6kV，电容器经本身漏电阻放电，漏电阻R=50MΩ，试求电容器电压下降到400V时所需的时间。解：电容器放电时的时间常数τ=RC=50×106×40×10–6=2000s现有0)(UtuCte代入已知数据得2000e6000400t可得：t=2000ln15=5416s≈1.5h强调：由以上两例的分析可以看出，在电子设备中，RC电路的时间常26数τ很小，放电时过程经历不过几十毫秒甚至几个微秒。但在电力系统中，高压电力电容器放电时间比较长，可达几十分钟，如例5.4中电容器放电经过1.5h后，两端仍有400V的电压。因此检修具有大电容的高压设备时，一定要让电容充分放电以保证安全。本讲小结1、含有储能元件的电路，从一个稳态变化到另一个稳态都要经历一个中间过程，即动态电路的过渡过程。2、根据过渡过程期间电路中电压、电流产生的根源不同，过渡过程分为三种：零输入响应，零状态响应和全响应。3、动态电路过渡过程进行得快慢取决于电路的时间常数τ。一阶RC电路与一阶RL电路的时间常数分别为τ=RC表达式中的R分别指换路后电容两端的等效电阻。本讲作业1、复习本讲内容；2、预习下一讲内容——一阶动态电路分析；3、书面作业：习题7-2，7-3，7-4。