直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝45．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝45，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得BFBEBABC，即31016BFx．所以BF＝5(3)8x．图1-2图1-3图1-4①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由4cos5BDBBF，得45BDBF．解方程45(3)58xx，得x＝3．②如图1-4，当∠BFD＝90°时，由4cos5BFBBD，得45BFBD．解方程5154885xx，得757x．我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC的“限制”，只需要取其确定的∠B．例❷如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x，若△ABC为直角三角形，求x的值．图2-1【解析】△ABC的三边长都可以表示出来，AC＝1，AB＝x，BC＝3－x．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，此方程无实根．②若AB为斜边，则1)3(22xx，解得35x（如图2-2）．③若BC为斜边，则221)3(xx，解得34x（如图2-3）．因此当35x或34x时，△ABC是直角三角形．图2-2图2-3例❸如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数)0(2xxy图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．图3-1【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况．4MN1MA1MB如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点．以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B的坐标为（2，0），且∠BAP不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP＝90°时，点P的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2．设P2(,)xx，由OP2＝4，得2244xx．解得2x．此时P(2,2)．图3-2图3-3方法二：由勾股定理，得PA2＋PB2＝AB2．解方程2222222(2)()(2)()4xxxx，得2x．方法三：如图3-4，由△AHP∽△PHB，得PH2＝AH·BH．解方程22()(2)(2)xxx，得2x．图3-4图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x2－2)2＝0．这个四次方程的解是x1＝x2＝2，x3＝x4＝2，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点（如图3-5）．例❹如图4-1，已知直线y＝kx－6经过点A(1,－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q．和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A(1,－4)代入y＝kx－6，可得k＝2．所以y＝2x－6，B(3,0)．设OQ的长为m．分三种情况讨论直角三角形ABQ：①如图4-2，当∠AQB＝90°时，△BOQ∽△QHA，BOQHOQHA．所以341mm．解得m＝1或m＝3．所以Q(0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ＝90°时，△QHA∽△AGB，QHAGHAGB．所以4214m．解得72m．此时7(0,)2Q．③如图4-4，当∠ABQ＝90°时，△AGB∽△BMQ，AGBMGBMQ．所以243m．解得32m．此时3(0,)2Q．图4-2图4-3图4-4三种情况的直角三角形ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A(1,－4)、B(3,0)，设Q(0,n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2，AQ2和BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例❺如图5-1，抛物线233384yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM是什么意思呢？过A、B两点分别画AB的垂线，与直线l各有一个交点，那么第三个直角顶点M在哪里？以AB为直径的⊙G与直线l相切于点M啊！由23333(4)(2)848yxxxx，得A(－4,0)、B(2,0)，直径AB＝6．如图5-2，连结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．因此3tan4GEM．设直线l与y轴交于点C，那么OC＝3．所以直线l（直线EC）为334yx．根据对称性，直线l还可以是334yx．图5-2例❻如图6-1，在△ABC中，CA＝CB，AB＝8，4cos5A．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，连结CE、DE．（1）求底边AB上的高；（2）设CE与AB交于点F，当△ACF为直角三角形时，求AD的长；（3）连结AE，当△ADE是直角三角形时，求AD的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D看作主动点，那么CE就是从动线段．反过来画图，点E在以CA为半径的⊙C上，如果把点E看作主动点，再画∠ACE的平分线就产生点D了．（1）如图6-2，设AB边上的高为CH，那么AH＝BH＝4．在Rt△ACH中，AH＝4，4cos5A，所以AC＝5，CH＝3．（2）①如图6-3，当∠AFC＝90°时，F是AB的中点，AF＝4，CF＝3．在Rt△DEF中，EF＝CE－CF＝2，4cos5E，所以52DE．此时52ADDE．②如图6-4，当∠ACF＝90°时，∠ACD＝45°，那么△ACD的条件符合“角边角”．作DG⊥AC，垂足为G．设DG＝CG＝3m，那么AD＝5m，AG＝4m．由CA＝5，得7m＝5．解得57m．此时2557ADm．图6-2图6-3图6-4（3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5图6-6马学斌[e-mail]2015年9月21日星期一To：《中小学数学·初中版》北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，100048