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1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为.同一个常数an＋1－an＝d(n∈N*)2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.a1＋(n－1)d[思考探究1]已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.[思考探究2]三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.4.等差数列的前n项和公式已知条件首项和公差首项和末项选取公式1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝()A.－B.C.D.解析：a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋45d＝70，d＝.答案：D2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()A.4B.5C.6D.7解析：∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5＝12，则a5＝6.答案：C3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为()A.128B.80C.64D.56解析：由解得a1＝1，d＝2，∴S8＝8a1＋d＝64.答案：Ca1+d=3,a1+6d=13,4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为.解析：由题意知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，①a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，②②－①：5d＝15，∴d＝3.答案：35.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为.解析：由已知得an＋1－an＝－，a1＝15，∴an＝a1＋(n－1)d＝15－(n－1)＝，显然a23＞0，a24＜0.∴该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a24.答案：第23项与第24项1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列；(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示]若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨][课堂笔记](1)证明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝＝1.又b1＝，∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)内为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示]因为＝n＋a1－，故数列{}是等差数列.(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项.[思路点拨][课堂笔记](1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则.由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.①又由S7＝7得7a1＋d＝7.②联立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)＝.令2m－3＝t，－6，因为t是奇数，∈N，所以t可取的值为±1.当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3，2×5－7＝3是数列{an}中的项；t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5不符合.所以满足条件的正整数m＝2.若将“，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和S30的值.解：由题意得解之得∴an＝a1＋(n－1)d＝－n＋，S30＝30a1＋d＝60.1.等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d0，则数列递减.若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).(2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨][课堂笔记]由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，则有2m－1＝19，m＝10.若将“am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列，∴S6＝＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，∴a3＋a4＝S6＝×72＝24.高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18【解析】∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an0，n≥21时，an0，∴n＝20时，Sn最大.【答案】B[自主体验]已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得∴∴an＝4n－2，则bn＝an－30＝2n－31.由得≤n≤.∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝＝－225.1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A.－2B.－C.D.2解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.答案：B2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析：由等差数列的性质得S7＝＝49.答案：C3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9解析：法一：∵d＜0，|a3|＝|a9|，∴a3＋a9＝0，∴a1＋5d＝0，∴a1＝－5d.∴Sn＝na1＋d＝n2－n＝(n－)2－d.∵d＜0，∴当n＝5或6时，Sn最大.法二：∵d＜0，|a3|＝|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3＋a9＝0，即2a6＝0，∴a6＝0，故数列{an}的前5项都大于0，从第7项开始各项都小于0.从而前5项或前6项的和最大.答案：B4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6，则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案：135.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于.解析：＝2.答案：2∶16.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；(2)若kn＝，求数列{kn}的前n项和Tn.解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋ca1＝S1＝1＋c，a2＝S2－S1＝(4＋c)－(1＋c)＝3，a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝①②①－②得Tn＝(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.解：(1)假设存在实数λ符合题意，则必为与n无关的常数，∵要使是与n无关的常数，则＝0，得λ＝－1.故存在实数λ＝－1.使得数列为等差数列.(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首项为＝2，∴＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令bn＝(n＋1)2n且前n项和为Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，①2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，②①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1＝2n＋1－(n＋1)2n＋1＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.