数值分析典型例题

第一章典型例题例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693第二章典型例题例1用顺序消去法解线性方程组xxxxxxxxx解顺序消元1717005.555.0014125.025.105.555.001412142141231412]bA[)3()2/1()2/3(231312rrrrrr于是有同解方程组17175.555.0142332321xxxxxx回代得解x3=－1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组xxxxxxxxx解建立迭代格式5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx(k=1,2,3,…)第1次迭代,k=0X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T第2次迭代，k=13532123351515232)2(3)2(2)2(1xxxX(2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k=215)3(25213)3(511)3(2)3(2)2(3)3(2)3(1xxxX(3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k=31512121311111212)2(3)2(2)2(1xxxX(4)＝(1,1,1)T例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为A＝122111221于是D＝100010001D－1＝D022001000L~000100220U~雅可比迭代矩阵为B0＝022101220022101220100010001)U~L~(D10))1(22[2)]1(2)2([2221102221122BI30得到矩阵B0的特征根03,2,1，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯－赛德尔迭代矩阵为G＝－U~)L~D(1＝－20032022000010022012001100100010022012201100110)2(20032022I2G解得特征根为1=0，2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。例5填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组xxxxxxxx作第1次消元后的第2，3个方程分别为。答案：5.35.125.15.03232xxxx解答选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到5.35.125.15.03232xxxx是应填写的内容。3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组xxxxxxxxx的迭代格式中)1(2kx＝(k=0,1,2,…)答案：)(3)1(13kkxx解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上x1的新值。第三章典型例题例1已知函数y=f(x)的观察数据为xk－2045yk51－31试构造拉格朗日插值多项式Pn(x)，并计算f(－1)的近似值。[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]解先构造基函数))(())()(())(()(xxxxxxxl))()(())())((())()(()(xxxxxxxl))(())()(()()()(xxxxxxxl35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3xxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=nkkkxly0)(＝))((xxx＋))()((xxx－))(()(xxx＋)()(xxx＝xxxf(－1)P3(－1)＝例3设nxxxx,...,,,是n+1个互异的插值节点，),...,,,)((nkxlk是拉格朗日插值基函数，证明：(1)nkkxl)((2)),...,,,()(nmxxxlmnkmkk证明(1)Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=nkkkxly0)()()()(),()!()()()(xRxPxfxnfxRnnnnn当f(x)1时，1＝)()!()()()()()(xnfxlxRxPnnkkknn由于)()(xfn，故有nkkxl)((2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,…,n，对固定xm(0mn),作拉格朗日插值多项式，有)()!()()()()()(xnfxlxxRxPxnnnkkmknnm当nm－1时，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以mnkkmkxxlx)(注意：对于次数不超过n的多项式axaxaxaxQnnnnn..)(,利用上结果，有axaxaxaxQnnnnn..)(=nkknkkknknkknnknkknxlaxxlaxxlaxxla)()(...)()(=nkkknnkknknnknkxlxQaaxxaxaxl00011)()(]...)[(上式nkkknxlxQ0)()(正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是kxkykkxxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5.aaaa解得a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x例6选择填空题1.设y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A))()!()()()()()(xnfxPxfxRnnnn(B)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)(C))!()()()()()(nfxPxfxRnnn(D)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。第四章典型例题例1试确定求积公式)()(d)(ffxxf的代数精度。[依定义，对xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]解当f(x)取1,x,x2,…时，计算求积公式何时精确成立。(1)取f(x)=1,有左边＝xxxfdd)(,右边＝)()(ff(2)取f(x)=x,有左边＝xxxfdd)(,右边＝)()(ff(3)取f(x)=x2,有左边=xxxxfdd)(,右边=)()()()(ff(4)取f(x)=x3,有左边=xxxxfdd)(,右边=)()()()(ff(5)取f(x)=x4,有左边=xxxxfdd)(,右边=)()()()(ff当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。例5试确定求积公式)]()0([)]()0([2d)(20hffahhffhxxfh中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。解公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有0]11[2d10hxh,即h=h)11(]0[2d120ahhhxxh,2222hh不能确定a，再令f(x)=x2,代入求积公式，得到)202(]0[2d2202hahhhxxh,即333223ahhh得121a.求积公式为)]()0([12)]()0([2d)(20hffhhffhxxfh将f(x)=x3代入上求积公式，有)303(12]0[2d22303hhhhxxh可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有)404(12]0[2d32404hhhhxxh所以该求积公式具有三次代数精度。例6选择填空题1.牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是。解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx∵f(0)=10，f(1)=－sin10∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。又f(x)=1－cosx0(x[0，1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。给定误差限＝0.5×10－4，有.lnln.lnlnln)ln(abn只要取n＝14。例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。计算过程保留4位小数。[分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间。若建立迭代格式)),(()(,)(,xxxxxxx即，此时迭代发散。建立迭代格式)21(54)24(54)(,24)(,245455xxxxxxx，此时迭代收敛。解建立迭代格式xxxx)(,1)),21(54)24(54)(054xxxx取初始值(可任取1，2之间的值)xx1.4310.xx1.5051.xx1.5165.xx1.5182.xx1.5185取x1.5185例3试建立计算a的牛顿迭代格式，并求