关注学生发展

1关注学生发展追求“优效教学”——“直线与平面平行的判定”案例分析肖凌戆（510700广东省广州市黄埔区教育局教研室）本文发表在《中国数学教育》（高中版）2010年第１-２期P39-44.高中数学“优效教学”的案例研究，是笔者主持的《高中数学“优效教学”的行动研究》（“广州市中小学教学领域进一步深化素质教育”的立项课题）的重要内容．在案例研究中，我们开展“同课异构”活动，引导教师进行教学反思，提炼优效教学的教学课例，积极推进素质教育.现以“直线与平面平行的判定”为例，与同行分享．一、课例描述（一）课例1的教学过程与点评1．引入新课师：空间中直线和平面有哪几种位置关系？生1：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交.师：根据直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行你认为方便吗？生2：根据直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行不方便.师：由于直线的无限延伸性和平面的无限伸展性，用定义判定直线与平面平行确实有困难。现在我们来学习直线与平面平行的判定定理.2．探索判定定理师：根据日常生活的观察，同学们能举出直线与平面平行的具体事例吗？(教师演示：教师取出预先准备好的直角梯形板进行演示。把互相平行的一边放在讲台桌面上并绕这一边所在直线转动直角梯形板，让学生观察另一边与桌面的位置关系.)生3：另一边与桌面平行.师：若把垂直于底边的腰放在桌面上并转动直角梯形板，另一腰所在直线与桌面平行吗？（教师演示）生4：另一腰所在直线与桌面不平行.师：上述演示中，直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？(通过观察感知，教师归纳,呈现课件.）直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简单概括：线线平行线面平行.符号表示：,,////ababa.作用：判定或证明线面平行.关键：在平面内找（或作）出一条直线与平面外的直线平行.思想：空间问题转化为平面问题，复杂问题转化为简单问题.3．定理运用教师讲解例题：2例1已知空间四边形ABCD中，,EF分别是AB和AD的中点，求证：EF//平面BCD.学生思考问题.变式1：,EF一定要是中点上面结论才成立吗？若改为“ADAFABAE31,31”呢？已知空间四边形ABCD中，,EF分别是AB、AD上的点，若，则EF//平面BCD.（请填上一个使命题成立的条件）变式2：如图1，空间四边形ABCD中，,,,EFGH分别为各边上的中点,请找出图中线面平行的关系.图1变式3：在三棱锥ABCD中,,,,EFGH分别为棱,,,ABBCCDDA边上的中点，请找出图中线面平行的关系.变式4：设两个全等的正方形ABCD和ABEF相交于AB，M、N分别为AC和BF中点，如图2所示，求证：MN//平面BCE.4．巩固练习学生演练课本练习.教师引导思考：（1）在课本练习的第2题中，如果1111ABCDABCD是长方体，结论仍然成立吗？ABCDHGEFCABEFM3（2）在课本练习的第2题中，如果，能否在1DE上找一点F，使得//BF平面AEC？如果呢？（3）在课本练习的第2题中，你能在平面11BBCC内画一条直线和平面AEC平行吗？5．课堂小结（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行.定理的符号表示：,,////ababa.简述：线线平行线面平行.（2）定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。6．布置作业课本习题2.2A组第3题和第4题.点评：在本课例中，教师注重直线与平面平行的判定定理的运用.在例题教学时，重视规范表达解题过程，注重变式教学，但忽视文字语言、图形语言、符号语言的转化训练.在直线与平面平行的判定定理的形成过程中，教师直接告知结论，忽视学生对判定定理的理性认识.(二)课例2的教学过程与点评1．复习回顾，引入新课师：空间直线与平面的位置关系有哪几种?生：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交.(多媒体投影下表.)位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行图像表示符号表示师：如何判定一条直线和一个平面平行呢？(教师提出如下问题，让学生观察探究.)问题1:将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何？问题2:将课室门打开，门上靠近把手的边与门框所在的墙面有何关系？2．操作确认，抽象概括(学生操作确认.)如图3，在长方体''''ABCDABCD中，直线AB与直线''DC的位置关系为，直线AB与平面''''DCBA的位置关系为，直线AB与平面''DDCC的位置关系为.图3aAaa21EDED...5,4,31EDEDABCDA’B’C’D’ABCDA’B’C’D’aaA//a4(教师抽象概括.)直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简单概括：线线平行线面平行.图形表示：如图4.符号表示：,,////ababa.简要表述：线线平行线面平行.作用：判定或证明线面平行.图43．例题讲解，变式演练例求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.已知：如图5，空间四边形ABCD中，,EF分别是AB和AC的中点.求证：EF//平面BCD.图5变式练习:（1）如图6，在长方体ABCDABCD中，E为棱DD的中点.试判断BD与平面AEC的位置关系,并证明.图6（2）如图7，已知四棱锥PABCD的底面是梯形，AB//CD且2CDAB.问：线段PC上是否存在点F使得BF//平面PAD？并证明你的结论.图7aabbABCDEFABCDEFPABCDFEGPABCDFEPABCDFPABCDFEEGABCDA’B’C’D’EFABCDA’B’C’D’EABCDA’B’C’D’EFF54．课堂小结（1）直线与平面平行的判定方法：定义法，判定定理法.（2）证明线线平行的常见方法：三角形中位线、相似三角形、平行四边形的性质.5．布置作业课后作业：习题2.2A组第3题.点评：在本课例中，教师注重对实物的观察，引导学生在直观感知、操作确认的基础上抽象概括出判定定理，注重经历观察探究、操作确认、抽象概括、定理运用的过程.在操作确认上，通过长方体模型中的线线平行、线面平行关系来具体认识线面平行的判定定理的本质属性，使学生明确判定定理的条件和结论.但是，教师直接告知结论，忽视学生对判定定理的理性认识.变式练习第（2）题的教学中，局限于用平行四边形的性质来证明线线平行这一预设目标，刻意从平行四边形的角度来解决问题，忽视了对三角形中位线定理的具体操作：通过分析条件AB//CD,2CDAB，可引导学生由中点联想中位线，进而延长CB和DA交于点G，得到三角形，再中位线定理证明线线平行，进而推出线面平行.由于时间安排较紧，学生参与不充分，没有充分激发学生的数学思维，未能达到预设的教学效果.(三)课例3的教学过程与点评教学步骤教学内容学生反应教师指导复习提问1.空间中直线和平面有哪些位置关系？2.在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？3.用图形和符号是如何表示的？1.直线与平面平行，直线与平面相交，直线在平面内.2.依次是：无公共点，有且只有一个公共点，有无数多个公共点。引导学生温故知新.问题提出如何判定一条直线和一个平面平行呢？思考、讨论设置疑难：定义法难以证明“无公共点”.定理导入1.观察：门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？2.观察：课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？3.拿在手上的一支笔，你如何确保它能和桌面平行呢？1.平行.2.平行.3.在桌面上“找”一条直线与之平行.引导学生从实例中感受线面平行的判定依据.定理讲解直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.定理说明：1.符号语言中的三个条件缺一不可；2.定理简述为：6图形语言：aabb符号语言：////abaab线线平行线面平行.线线平行是条件的核心，要证明线面平行，可转化为证明线线平行.定理的再认识判断：（1）若直线l平行于平面内的无数条直线，则l∥（2）如果,ab是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面（1）错误.（2）错误.基础训练如图，在长方体1111ABCDABCD中，与AB平行的平面有；与1AA平行的平面有；与AD平行的平面有；与1AB平行的平面有。为什么？（1）平面1111ABCD和平面11DDCC；（2）平面11DDCC和平面11BBCC；（3）平面11BBCC和平面1111ABCD;（4）平面11DDCC.例题讲解例.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。已知：如图，空间四边形ABCD中，,EF分别是,ABCD的中点.求证：EF∥平面BCD.ABCDA1D1C1B17ABCDA1D1C1B1变式训练：（1）在上题中，设H为BC的中点，连接EH.你能找出哪个平面与EH平行吗？（2）已知：空间四边形ABCD中，,,,EFGH分别是,,,ABADDCBC的中点.求证：BD∥平面EFGH.证明：连接BD.∵AEEB，AFFD,∴EF∥BD（三角形中位线的性质）∵EF平面BCD，BD平面BCD,∴由直线和平面平行的判定定理得：EF∥平面BCD.能力提高已知：在长方体1111ABCDABCD中，E为1DD的中点.求证:1BD//平面AEC.E让学生先探索：在该长方体中，自己构造线段，使之与平面AEC平行.小结1.今天我们学习了直线与平面平行的判定，同学们在运用该判定定理时应注意什么？2.在证明线面平行的问题时，常将之转换为线线平行问题.让学生先自己总结三个条件，缺一不可；线线平行线面平行.难点：如何在平面内“找”出平行的直线.布置作业1.课本习题2.2A组第3题.2.课本习题2.2B组第1题.83.在长方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱BC与11CD的中点.求证：EF∥平面BDDB11BDDB.4.在正方体1111ABCDABCD，,PQ分别是1AD和BD上的点，APBQ.求证：PQ∥平面11DCCD.点评:这节课的亮点是:学生的探究在前，老师的讲解、点评在后，尊重学生，重视思维训练.不足之处有以下几点：(1)对学生的能力估计不足.因为是借班上课，对学生的能力不太了解，所以与学生的沟通、交流上显得生疏.(2)忽视板书.在重视思维训练的同时，对几个证明题的解题过程和解题格式没有板书.从实际来看，效果不理想.如果老师能板书解题过程，可能效果更好些.原打算请学生上台板演，但由于时间关系没能实施.(3)线面平行的判定定理，教师直接告知结论，忽视学生对判定定理的理性认识.二、教学反思上面三个课例存在的主要问题是：新课导入缺乏有效的问题情境；直观感知缺少必要的理性分析，只告知判定定理，不重视判定定理的形成过程；变式训练不够充分.下面就《直线与平面平行的判定》的教学环节进行探讨：1.关于新课引入从建构主义理论来看，学生原有认知结构是新授课的基础.本节课学生已有的认知结构包括知识储备(直线与平面平行的定义)和方法储备(空间问题平面化的化归与转化思想).因此，在新课引入时，首先应引起认知冲突.通过复习直线与平面的位置关系及其图形表示、符号语言，采用问题导入方式，提出如何判定直线与平面平行以引发学生思考.其次，宜提供先行组织者，让学生明确探究方法.通过回想研究异面直线所成的角的方法，指明判定直线与平面平行可采用空间问题平面化的思想方法.2.关于判定定理的形成可采用“观察模型----直观感知----操作确认----抽象概括----思考探究”的方式.课本用如下问题1作为观察的对象：问题1:将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？