《微积分》PPT课件

微积分Ⅰ1第九章重积分§9.2二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结微积分Ⅰ2第九章重积分一、利用直角坐标计算二重积分bxa),()(21xyx)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy1、积分区域的类型设积分区域D可以用不等式来表示,其中函数1(x)、则称D为X－型区域,2(x)在区间[a,b]上连续.微积分Ⅰ3第九章重积分则称D为Y－型区域,类似地,2()xy1()xyDcdcd2()xy1()xyDdxc),()(21yxy设积分区域D可以用不等式来表示,其中函数ψ1(y)、ψ2(y)在区间[c,d]上连续.微积分Ⅰ4第九章重积分X－型区域的特点:穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.Y－型区域的特点:穿过区域D内部且平行于x轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.微积分Ⅰ5第九章重积分(,)ddDfxyxy下面应用第六章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法,来求此二重积分.2、二重积分化为二次积分的公式设函数f(x,y)≥0,则由二重积分的几何意义知,的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.以积分区域D为X－型区域为例.微积分Ⅰ6第九章重积分在[a,b]上任意取定一点x0,zyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xya0xb作平行于yOz面的平面x=x0,则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间[1(x0),2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形.微积分Ⅰ7第九章重积分baxxAVd)(.d]d),([)()(21baxxxyyxf.d),()()()(000201xxyyxfxA∴该截面的面积为一般地,过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为.d),()()()(21xxyyxfxA由计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,得曲顶柱体的体积为微积分Ⅰ8第九章重积分就是说,先把x看作常数,把f(x,y)只看作y的函数,并对y计算从1(x)到2(x)的定积分;Dyxfd),(这个体积也就是所求二重积分的值,.d]d),([)()(21baxxxyyxfDyxfd),()1(d),(d)()(21baxxyyxfx从而有等式上式右端的积分称为先对y、后对x的二次积分.然后把所得的结果(是x的函数)再对x计算在区间[a,b]上的定积分.这个先对y、后对x的二次积分也常记作这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分的公式.微积分Ⅰ9第九章重积分.d]d),([d),()()(21dcyyDyxyxfyxf类似地,)2(d),(dd),()()(21dcyyDxyxfyyxf若积分区域D为Y－型区域,则有上式右端的积分称为先对x、后对y的二次积分,这个积分也常记作这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式.微积分Ⅰ10第九章重积分说明:Dyxyxfdd),()(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy①使用公式(1)必须是X－型域,使用公式(2)必须是Y－型域.②若积分区域既是X－型区域又是Y－型区域,则有baxxyyxfx)()(21d),(d.d),(d)()(21dcyyxyxfy微积分Ⅰ11第九章重积分3D2D1DDyxyxfdd),(③若积分区域既不是X－型区域又不是Y－型区域,则必须将其分割成若干个X－型区域或若干个Y－型区域..dd),(dd),(dd),(321DDDyxyxfyxyxfyxyxf如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,可得微积分Ⅰ12第九章重积分3、交换二次积分次序的步骤为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换积分次序.①对于给定的二次积分可先,d),(d)()(21baxxyyxfx根据其积分限,bxa),()(21xyx画出积分区域D;②根据积分区域D的形状,按新的积分次序确定积分限;dxc),()(21yxy③写出结果baxxyyxfx)()(21d),(d.d),(d)()(21dcyyxyxfy微积分Ⅰ13第九章重积分xy1解}.10,10|),{(xyxyxD{(,)|01,01},Dxyyxy例1改变积分的次序.xyyxfx1010d),(d由所给二次积分知,原二重积分的积分区域D为X－型区域,即若改变该二次积分的次序,则积分区域D变为Y－型区域,即xyyxfx1010d),(d.d),(d1010yxyxfy微积分Ⅰ14第九章重积分xy222xxy解21{(,)|01,02},Dxyxyxx2{(,)|12,02}.Dxyxyx例2改变积分的次序.xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2由所给二次积分知,原二重积分的积分区域D可看作两个X－型区域之和(如图),即若改变该二次积分的次序,则D变为Y－型区域,微积分Ⅰ15第九章重积分即2{(,)|01,112},Dxyyyxyxxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2.d),(d211102yyxyxfy微积分Ⅰ16第九章重积分例3改变积分的次序.)0(d),(d22202ayyxfxIaxxaxa解.2220:2axyxaxaxD2D1D3D原二重积分的积分区域为若将积分区域D分成D1,D2及D3三部分,则有微积分Ⅰ17第九章重积分;222:22ayaaxayD,02:223ayaxyaaD22220d),(dyaaayaxyxfyIaayaaxyxfy2222d),(d.d),(d2022ayaaaxyxfy;02:2221ayyaaxayD微积分Ⅰ18第九章重积分解22yxxyDyxyxdd)(2xxyyxx2d)(d21010422d)](21)([xxxxxx.140332xy2yx2xy2yxDyxyxdd)(2例4求,其中D是由抛物线y=x2和x=y2所围成的平面闭区域.积分区域D如右图所示.由方程组可求得两曲线的交点为(0,0),(1,1),微积分Ⅰ19第九章重积分解Dyyxxdde22yyxxy0210ded2103d3e2yyy1022)(de612yyy).e21(61例5计算二重积分,其中D是以(0,0)、(1,1)和(0,1)为顶点的三角形闭区域.Dyyxxdde22积分区域D如右图所示.无法用初等函数表示,yyde2∴积分时必须考虑次序,微积分Ⅰ20第九章重积分解121d)ee(xxx.e21e832xyxy例6计算二重积分.dedded121212141yyxyyxyxyxyI积分区域D如右图所示.无法用初等函数表示,xxyde∴先改变积分次序,xxxyyx221ded1yyxyyxyxyxyIdedded121212141微积分Ⅰ21第九章重积分说明:①计算二重积分时,选择积分次序是比较重要的一步,积分次序选择不当,可能会使计算繁琐,甚至无法计算.一般地,既要考虑积分区域D的形状,又要考虑被积函数f(x,y)的特性.②应遵循“能积分,少分快,计算简”的原则.微积分Ⅰ22第九章重积分例7求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解xyzRRo,222Ryx222.xzR22,zRx22{(,)|0,0},DxyyRxxR设两个直圆柱方程为由立体关于坐标平面的对称性可知,所求体积为第一卦限部分体积的8倍.∵所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体,它的顶为柱面它的底为微积分Ⅰ23第九章重积分∴所求体积为RxxR022d)(8316.3R220022dd8xRRyxxR微积分Ⅰ24第九章重积分解例8求由下列曲面所围成的立体的体积:.0,0,1,,yxyxxyzyxz曲面围成的立体如图.微积分Ⅰ25第九章重积分:01.Dxy,0yxxyxyyxx1010d)(d103d])1(21)1([xxxx.247由所给曲面消去z,得,xyyx∴所围立体在面上的投影是∴所求体积为DxyyxVd)(微积分Ⅰ26第九章重积分4、利用对称性化简二重积分的计算利用对称性来简化二重积分的计算是十分有效的,它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的.不过二重积分的情况比较复杂,因此,在运用对称性时,要兼顾被积函数和积分区域两个方面,不可误用.归纳起来主要有下面几种情形.微积分Ⅰ27第九章重积分(,)dd0;Dfxyxy1(,)dd2(,)dd,DDfxyxyfxyxy①设D关于y轴对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(-x,y)=-f(x,y),即f(x,y)是关于x的奇函数,则(ii)若f(-x,y)=f(x,y),即f(x,y)是关于x的偶函数,则其中D1是D中x≥0的部分.微积分Ⅰ28第九章重积分(,)dd0;Dfxyxy2(,)dd2(,)dd,DDfxyxyfxyxy②设D关于x轴对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)是关于y的奇函数,则(ii)若f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)是关于y的偶函数,则其中D2是D中y≥0的部分.微积分Ⅰ29第九章重积分(,)dd0;Dfxyxy3(,)dd4(,)dd,DDfxyxyfxyxy③设D关于原点对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(-x,-y)=-f(x,y),则(ii)若f(-x,-y)=f(x,y),则其中D3是D中x≥0,y≥0的部分.微积分Ⅰ30第九章重积分(,)dd(,)dd,DDfxyxyfyxyx④若D关于直线y=x对称,则这是二重积分所独有的性质.上式称为二重积分关于积分变量的轮换对称性.微积分Ⅰ31第九章重积分①、②、③简单地说就是奇函数关于对称域的二重积分等于0,偶函数关于对称域的二重积分等于对称的部分区域上二重积分的两倍,完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质.简述为“你对称,我奇偶”.微积分Ⅰ32第九章重积分例9计算二重积分,其中积分区域D由曲线y=x2与y=1所围成.Dyxyxxfydd)](1[22解DO2xy),(),(22yxxyfyxg,0dd)(22DyxyxxyfDyxyxxfydd)](1[22Dyxydd1112ddxyyx114d)1(21xx.54令∵D关于y轴对称,且),,(),(yxgyxg微积分Ⅰ33第九章重积分∴所求二重积分等于在区域D1上二重积分的4倍,例10计算二重积分,其中积分区域D:|x|+|y|≤1.Dyxyxdd22xyO11111D解Dyxyxdd221dd422Dyxyxxyyxx102210dd41032d)1(34xxx.451f(x,y)=x2y2关于或均为偶函数,∵D关于x轴和y轴对称,即微积分Ⅰ34第九章重积分二、利用极坐标计算二重积分AoDiiiiiii12,,,,n则除包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积为i1、极坐标系下二重积分的表达式在极坐标系下,用