数形结合方法在中学数学解题中的应用

数形结合方法在中学数学解题中的应用指导老师：刘颖芬专业：数学与应用数学班级：07数本（1）班学号：0720151027答辩人：明邦龙选题缘由及创新设想现有关于数形结合思想解题的研究内容较多，但是都比较零散，即大部分论文都是从某一方面进行的研究，对数形结合思想解题应用缺乏系统的综合研究。而数形结合思想从产生发展的整个过程，对现代社会都有很多的应用，对其在中学数学解题中的应用进行系统总结，可给学生较好运用数形结合思想解题提供参考，也可给老师的教学提供适当的参考，故研究有着重要作用和意义。本课题将主要呈现的是数形结合的思想，这种数学解题思想又与现实生活相联系，研究更具现实性、可行性及创新性。写作重点与难点本论文写作的重点：用数形结合思想解题的应用途径有很多，虽然我们不可能归纳其所有，但是将在前人研究的基础上，总结、归纳出适用于较一般问题的应用，以达到有较广泛参考价值的目的。本论文写作的难点：在论文中，将会出现很多图形与空间的难题，届时将运用数形结合思想解决这些难点。论文写作提纲前言1数形结合解题方法的涵义2数形结合解题方法的适用范围3数形结合解题方法的实现途径3.1由数到形，利用形的直观开拓解题思路3.2从形到数，揭示形中数的本质4结语内容摘要：“数形结合”是数学解题中常用的思想方法。本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，较详细归纳了数形结合方法在中学数学解题中的一些应用。1.“数形结合”解题方法的涵义数形结合包括两部分涵义：一是在解决图形问题时利用其数量特征将其化为代数，三角问题来解决，这主要是解析几何的任务；二是在解决与数量相关的问题时，考察其结构的特点借助图形直观，简捷地解决，从而用数和形的辩证统一和各自的优势尽快的找出解题途径。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。2.“数形结合”解题方法的适用范围数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：（1）、解决集合问题（2）、解决函数问题（3）、解决方程与不等式的问题（4）、解决三角函数问题（5）、解决线性规划问题（6）、解决数列问题（7）、解决解析几何问题（8）、解决立体几何问题3.数形结合方法在中学数学教学中的应用中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数助形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。3.1由数到形，利用形的直观性开拓解题思路很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解。这需要我们掌握一些基本代数式的几何意义和方程的几何图像。3.1.1借助于方程的曲线解决最值问题3.1.2借助于函数图象解决取值范围问题3.1.3借助于函数图象解决不等式的值域问题3.1.4借助于图象解决解决排列组合问题3.1.5借助于复平面上的点解决复数问题3.2、从形到数，揭示形中数的本质数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。3.2.1用代数方法解决平面几何问题等3.2.2用代数方法解决立体几何的问题4．总结在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的，它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性，创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥。在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则、数形互补原则。等价性原则，即代数性质和几何图形的转换是等价的；双向性原则，即进行几何直观分析，又进行代数抽象的探索，两方面相辅相成；简单性原则，不能片面追求“数形结合”，反而使问题更复杂。总而言之，“数无形不直观，形无数难入微”。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题，因此数形结合思想在中学数教学中起着举足轻重的作用。