变系数常微分方程的解法探讨

目录1引言......................................................................12一阶变系数常微分方程的解法探讨............................................12.1变系数一阶微分方程的几个可积类型......................................12.2应用举例..............................................................43二阶变系数线性微分方程的解法探讨.........................................53.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解............................63.1.1对变系数线性二阶微分方程p0(x)y′′+p1(x)y′+p2(x)y=0特解的探索.....63.1.2确定p0(x)y′′+p1(x)y′+p2(x)y=0的通解.............................73.1.3用常数变易法确定L(y)=f(x)的特解y∗(x)............................83.1.4应用举例...........................................................83.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法..................................93.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论.....................93.2.2讨论如何求出f1(x)，f2(x)...........................................103.2.3应用举例..........................................................103.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法...............................113.3.1利用自变量的变换实现常系数化......................................113.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化............................123.3.3应用举例..........................................................134三阶变系数线性微分方程的解法探讨.........................................144.1方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件..............................144.2应用举例.............................................................16结束语.....................................................................17参考文献...................................................................17致谢.......................................................................17变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法.本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件.又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解范围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1DiscussionontheSolutionofOrdinaryDifferentialEquationwithVariableCoefficientAbstract:Sofar,therehasn’tbeenanestablishedmethodonhowtosolveOrdinaryDifferentialEquation(ODE)withVariableCoefficients.ThispaperpresentssomemethodsofsolvingthesecondorderlinearODEwithvariablecoefficientsbymeansofsearchingspecialsolutionandvariabletransformation,etc.ThispaperalsogivesanintroductiontothenecessaryandsufficientconditionsoffirstorderlinearODEand3rdorderlinearODEwithvariablecoefficientthatcanbetranslatedintoconstantcoefficients.Moreover,wegivesomeexamplestoillustratethefeasibilityofthesemethods.Hence,theresultseffectivelyextendthesolvableforthevariablecoefficientdifferentialequations.Keywords:variablecoefficientsordinarydifferentialequations；secondorderdifferentialequationswithvariablecoefficients；generalsolutions；variabletransformation1变系数常微分方程的解法探讨1引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域内并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域内对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：y'+P(x)y=Q(x)(2.1)定理2.1[2]设P,Q,F∈C',V(x)≠0,x∈I,α,β为常数(α≠0).如果等式2V′+PV=kQVβ(2.2)在I上成立（k为常数），则方程y′+P(x)y=Q(x)Vβ(x)F(yαVβ)(2.3)是可积的.证明令y=u1αV,则y′=1αu1α−1u′V+u1αV′(2.4)将（2.2），（2.4）代入（2.3），得1αu1α−1Vu′+u1α(−PV+kQVβ)+Pu1α=QVβF(u),u′=αQ(x)Vβ−1(x)[u1−1αF(u)−ku].属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的.推论2.1设P,Q,F∈C,α,β为常数（α≠0），则方程y′+P(x)y=Q(x)(e−∫Fdx)F(yα(e−∫Fdx)α)(2.5)是可积的.在定理2.1中，令k=0,则V=e−∫Fdz,即得推论2.1.利用推论2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1)奇次方程y′=f(yx)(2.6)是（2.5）式，当P(x)=−1x,α=1,Q(x)xβ=1时的特例.由定理2.1知，可令y=xu,将（2.6）式化归为可分离变量型duf((u)−u)=dxx来求解.(2)线性一阶方程y′+P(x)y=R(x)(2.7)是(2.5)式，当F=1,β=0时的特例.由定理2.1，可令y=ue−∫Pdx,将（2.7）化归为du=R(x)e∫pdxdx3来求解，其中R(x)=Q(x)(e−∫pdx)β.(3)Bernoulli方程y′+P(x)y=Q(xyn)，n≠0,1.(2.8)这是（2.5）式，在F(u)=un(n≠0,1),α=1,β=n时的特例.由定理2.1知，可令y=ue−∫pdx,将（2.8）化归为可分离变量型duun=Q(x)e(1−n)∫pdxdx来求解.推论2.2设P,Q,R∈C,P(x)≠0,x∈I.如果存在常数a,b,c(b≠0),使得R[ce−∫Qdx+ae−∫Qdx∫e∫Qdxdx]2=bP(2.9)成立，则Riccati方程y′=P(x)y2+Q(x)y+R(x)(2.10)是可积的.证明将（2.9）式变形为RbP=1[e−∫Qdx(c+∫αPe∫dxdx)]2令G=1e−∫Qdx(c+∫αPe∫dxdx)它是Brinoulli方程G′=QG−αPG2的通解.显然，G∈C′,G(x)≠0.在定理2.1中，令α=1,k=−1,F(u)=u2+b,应用定理2.1（此时定理中的P=−Q，Q=αP，β=2），知方程y′−Qy=PG2(y2G2+b)即（2.10）是可积的.推论2.3Q,f∈C,V∈C′,V(x)≠0,x∈I,α,β为常数α≠0，则一阶微分方程y′−V′Vy=QVβ[αf2(yαVα)+bf(yαVα)+c]是可积的，其中a,b,c为常数(a≠0).在定理2.1中，令P(x)=−V′V,F(u)=af2(u)+bf(u)+c,即可得推论2.3.4定理2.2设P，Q，F∈C，f∈C′，f≠0，α为常数(α≠0)，则方程f′(y)y′+P(x)f(y)=Q(x)F[fα(y)e−α∫pdx].（2.11）是可积的.证明令u=f(y)，则（2.11）可变形为u′+P(x)u=Q(x)F[uαe−α∫pdx].由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的.推论2.4设P，Q，F∈C，α，β为常数(α，β≠0)，则下列方程都是可积的.y′+Pylny=QyF[uαe−α∫pdx]；y′+Pβy=1βQy1−βF[yαβe−α∫pdx]；y′+P=Qe−yF[e2(y+pdx)].在（2.11）中，令f(y)分别等于lny，yβ，ey即得结论.2.2应用举例例2.1解方程xy′+ay2−by+cx2b=0(2.12)解将（2.11）变形为y′−bxy=−x2b−1(ay2x2b+c),e−∫pdx=e∫bxdx=xb.由定理2.1，推论2.1知，可令y=uxb,,y′=xbu′+bxb−1u.(2.12)可化为u′=−xb−1(au2+c)，duau2+c=−xb−1dx.两边积分，得51√acarctg(√acu)=−xbb+c.(2.12)的通解为1√acarctg(√ac∙yxb)=−xbb+c.例2.2解方程y′=xy2−yx−20x3(2.13)解取a≠0,b=−20a2,c=0，容易验证条件（2.9）是满足的.−20x2[0∙x+ax∫x∙1xdx]2=bx,由定理2.1，推论2.2知G=1ax2，故（2.13）可积.令y=uax2，u=ax2y，,（2.13）变形为u′=1ax(u+5a)(