第二节-二重积分的计算法(一)..

第二节二重积分的计算法一、直角坐标系下的计算法二、极坐标系下的计算法为曲顶柱体的体积．以曲面为底，的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,axb),(yxfzzyxVdyxfD),(badxxA)()(xA基本思路：化为定积分一、直角坐标系下的计算法.yxoab)(2xy)(1xyDyxoabD)(1xy)(2xyyxoabD)(2xy)(1xy1.X－型积分区域D:1(x)≤y≤2(x),a≤x≤b特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.zxoaby),(yxfz)(2xy)(1xyx+dxxdyyxfxx)()(21),(A(x)Ddyxf),(),()()(21baxxdyyxfdxA(x)1(x)2(x)z=f(x,y)yzbaxxdxdyyxf]),([)()(21Ddyxf),(badxxA)(后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。),()()(21baxxdyyxfdxDdyxf),(D是X型区域，二重积分化为先对y，后对x的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。例1,dDxy计算其中D为y2=x和y=x2所围的闭区域.yxoy=x2xy11解:D为X－型区域102dddxxDyxyxxyxyxxxd21022xxxd)(21105210636321xx121xyxxD2,102.Y－型积分区域D：1(y)≤x≤2(y),c≤y≤dyxocdDx=1(y)x=2(y)yxoDx=1(y)x=2(y)cddcyyDyxyxfyxfd]d),([d),()()(21dcyyxyxfy)()(21d),(dyxocdDx=1(y)x=2(y)后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。D是Y型区域，二重积分化为先对x，后对y的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。d),(Dyxfdcyyxyxfy)()(21d),(dyxox=y2yx11D也为Y－型区域10ddd2xxyyxyyyD121例1’,dDxy计算其中D为y2=x和y=x2所围的闭区域.yxyyD2,10例2,2Dydσx计算其中D为由x=0和y=0及y=22x所围成闭域.yxo21y=22x解:D为X－型区域1022022dddyyxxyxxDxyxxd21022022xxxxd)484(2110432105435423421xxx151yxo2121yxD也为Y－型区域2021022dddxyxyyxyD151xyoX－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.yxoyx1x=y例3计算2112222dddyyDxyxyyx,d22Dyx其中D由y=2,y=x及xy=1所围闭区域21解:D为Y－型区域21132d31yxyyy215d)1(31yyy214241231yy19281••若先对y再对x积分21ddd222222DDDyxyxyx212221212122ddddxxyyxxyyxx19281yxo21xy1x=y21D1D2D也为X－型区域例4改换二次积分xyyxfx010d),(d的积分次序.解：D：0≤y≤x,0≤x≤1D1yy=xx01xyyxfx010d),(dyxyxfDdd),(110d),(dyxyxfy例5改换二次积分22010),(yydxyxfdy的积分次序.解：10,20:2yyyxD22yyxD1yx210x2+(y–1)2=1211xy22010),(yydxyxfdydxdyyxfD),(111102)(xdyx,yfdx1210sinxdyydx计算yxoy=xy=1x=0D解区域D既是X－型，又是Y－型的可积，由一元积分学知102sindyy但siny2的原函数不是初等函数原积分不能直接得到Idyydxx1210sinydxydy0210sin102sindyyy1cos121先交换交换顺序例6,22dxdyexIDy计算围成。为其中xyyxD,1,0yxoy=xy=1x=0D解区域D既是X－型，又是Y－型的。的原函数不是初等函数2yeyydxexdyI02102313102yoyxdye1022261ydeyye3161例7求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的体积。yxzoRD1解如图设两个圆柱的方程为,,222222RzxRyx222Rzx2210,0),(xRyRxyxDdxdyxRVD1221dyxRdxxRR220220302232RdxxRR313168RVVxoD22xRyyR例8