菱形基础知识点及同步练习、含答案

学科：数学菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，过A作AE⊥BC于E，∴∠BAE=30°，1AB21BE，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）312BEABAE2222，（勾股定理）32AEBCSABCD菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28，∠B∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC、BD交于点O，30B21ABD，AC⊥BD．（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）在Rt△ABO中，1AB21AO，312AOABBO2222，∴AC=2，32BD，3232221BDAC21SABCD菱形．答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴OB=BE，∴AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为()(A)45°，135°(B)60°，120°(C)90°，90°(D)30°，150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S，则它的边长为()(A)S(B)S21(c)S321(D)S521二、填空题3．已知：菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，则∠B=________.4．已知：菱形的两条对角线长分别为a、b，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题7．已知：O为对角线BD的中点，MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N．求证：四边形DNBM是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于()A．2:3B．3:3C．1：2D．1:32．已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为()A．6cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm3．菱形的对角线具有()A．互相平分且不垂直B．互相平分且相等C．互相平分且垂直D．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm160，高等于8cm，则菱形的周长等于____________．5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________．6．菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm．7．如图4-29，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，AG⊥BC，且BD、AG相交于点E，DF⊥BC于F．求证：四边形AEFD是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O．求证：四边形AFCE是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B；2．D；二、3．80°；4．222ba，ab21；5．对角线互相垂直，各边长相等．6．4厘米．三、7．由已知MN为BD的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，又由△DOM≌△BON，得DM=BN，∴DM=BM=BN=DN．∴四边形DNBM是菱形.8．过点D作DH⊥AB于H，则DH为菱形的一条高．又∵AC、BD互相垂直平分于O，∴821ABOA厘米，621BDOB厘米．由勾股定理，得1022BOAOAB(厘米)．又∵OABDDHAB2121，∴812211021DH，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B；2．C；3．C；4．80cm；5．5；6．10；7．证法一：在Rt△ABD和Rt△FBD中，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∠DAB=∠DFB=90°，又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△FBD∴AD=DF，∠ADE=∠EDF又∵DF⊥BC，AG⊥BC，∴DF//AE，∴∠EDF=∠DEA，∴∠ADE=∠DEA，∴AD=AE，∴AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵AD=DF，∴四边形AEFD为菱形．证法二：同证法一得DF=DA=AE，∵Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，∴△ABE≌△FBE，∴AE=EF，∴DF=DA=AE=EF，∴四边形AEFD是菱形．证法三：同证法一：Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，∴△ABE≌△FBE，∴∠GAB=∠EFB，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°，∴∠C=∠GAB，∴∠C=∠EFB，∴EF∥AC，又∵DF∥AG，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AD=DF，∴四边形AEFD是菱形．8．∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴四边形AFCE是菱形．