浙江省镇海中学2017-2018学年高中数学竞赛模拟(二)试题

2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2）姓名_______1．若集合212|0Axxx，1{|0}1Bxxx，|{}CxxAxB且，则集合最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。C（）A．3,11,4B．3,11,4C．3,11,4D．3,11,42．若函数224,32log,3axxxfxxx（0a，且1a）的值域为[3)，，则实数a的取值范围为（）A． 1,3B． 1,3C．3,D．[3)，3．如图，在四面体PABC中，已知PAPBPC、、两两互相垂直，且3PAPBPC．则在该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为（）A．3B．332C．532D．334．ABC中，“ABC”是“222cosAcosBcosC”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数220162016log120162xxfxxx，则关于x的不等式(31)()4fxfx的解集为（）A．1(,)2016B．1(,)3C．1(,)2D．1(,)46．记,,Mxyz为,,xyz三个数中的最小数，若二次函数2,,0)(fxaxbxcabc有零点，则(,,)bccaabMabc的最大值为（）A．2B．54C．32D．1二、填空题（每小题8分，共64分）7．数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是．8．省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有种．9．已知函数21,fxxaxaaR，若对于任意的0,4a，存在00,2x，使得|(|)otfx成立，则t的取值范围为．10．已知33001abab，，，则ab的取值范围为．11．已知fx是偶函数，0x时，fxxx(符号x表示不超过x的最大整数)，若关于x的方程0fxkxkk恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围为．12．已知点F为椭圆222210xyabab的右焦点，椭圆的离心率为32，过点F的直线l交椭圆于,AB两点(点A在x轴的上方)，且3AFFB，则直线l的斜率为．13．方程2111xyxyzxy的正整数解,,xyz为（写出所有可能的情况)．14．一个有限项的数列满足：任何3个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为．三、解答题（共56分）15．已知函数2110xgxaa的图象恒过定点A，且点A又在函数3=fxlogxa的图象上．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当方程222gxb有两个不等实根时，求b的取值范围；（Ⅲ）设2nagn，11nnnnabaa，nN，求证，12313nbbbb，()nN．16．如图，椭圆2222:10xyCabab的离心率12e，短轴的两个端点分别为12,BB，焦点为12,FF，四边形1122FBFB的内切圆半径为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过左焦点1F的直线交椭圆于,MN两点，交直线4x于点P，设1PMMF，1PNNF，试证为定值，并求出此定值．17．已知函数2xaxfxe，直线1yxe为曲线yfx的切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）用{,}minmn表示,mn中的最小值，设函数1(),}(0){gxminfxxxx，若函数2hxgxcx为增函数，求实数c的取值范围．试卷答案一、选择题1．D解：依题意，2{|120}3,4Axxx，1{|0}(1,1)1xBxx．由xA，知34x；xB，知1x或1x．所以，31x或14x，即 3,11,4C．2．A解：当3x时，函数222413fxxxx的值域为[3)，，当3x时，2log3ax，即3x时，log1logaaxa1a，且3x时xa恒成立．∴13a，a的取值范围为1,3．3．B解：如图，设23AEAFAG(E在AB上，F在PB上，G在PC上)．由,,PAPBPAPCPBPC，3PAPBPC，知3PFPG，6PAF，4612EAF．∴在面PAB内与点A距离为23的点形成的曲线段(图中弧EF)长为323126．同理，在面PAC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为36．同理，在面ABC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为232333．同理，在面PBC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为3322．所以，该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为332．4．C解：ABCabcsinAsinBsinC222121212sinAsinBsinC222cosAcosBcosC．5．D解法1令)(()2gxfx，则函数gx为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为310gxgx31gxgx1314xxx解法二： yfx关于0,2中心对称且在实数上为增函数13104xxx．6．B解：可以不妨设0abc，因为24bac，所以224abac，故11,04bcaa所以()()0bccabaabcabab，()()0bcabcaabcacac，所以(,,)bccaabMabc()15144bca（当且仅当40abc时取等号)二、填空题7．小乐，小强，小明．8．42解：分两类(1)甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有246C种排法；(2)甲、乙不在同一天值班，有1143336CC种排法，故共有42种方法．9．1t．解法一：函数fx视作为a的函数11faxax问题等价于对于(0,4]a，|()|tfa由于0,2x，所以2max|()||43|faxx所以问题等价于0,2x，2max|()||43|tfaxx即2min|43|txx，所以1t．解法二：由题意得11fxxax对于00,2x则只需21max{|1|,|3|,|1|}4taaaa设21()max{|1|,|3|,|1|}4gaaaaa此时min1ga所以对于(0,4]a只需mintga，所以1t．解法三：若对任意的0,4a，存在00,2x使得0|()|tfx当0t时符合条件；当0t时等价于若对任意的0,4a，存在00,2x使得0()tfx或0()fxt．若0()tfx则因为0,4a，所以0,22a．所以函数21fxxaxa在(0,)2a为减函数，在(,2)2a为增函数所以当0,2a时，3ta进而有01t；当2,4a时，1ta进而有01t；所以01t．②若0()fxt，则214ata．所以0,4a应有：0t这与0t矛盾，舍去．综上：1t．10．3(1,4]解：由2()04abab及33221()()ababaabb2()[()3]ababab有331()1()4abab，所314ab．11．11[,)32解：作出函数yfx与ykxk的草图(如图所示)．易知直线ykxk恒过点1,0，1x是方程fxkxk的一个根．从图像可知，当10102(1)1(1)k，即1132k时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴k的取值范围为11[,)32．12．2解：极点在右焦点的极坐标方程为1cosepe，所以||1cosepAFe，||1cosepBFe，从而31cos1cosepepee，可得3cos3，tan2，所以直线l的斜率为2．13．1,3,53,7,3，解：2221xyxyxyz．∴(2|221)xyxyxy，∴|(221)xyxy，221xyxy．由xy，知1xy，因此，2214xyy．∴4x，1,2,3x若1x，则3|2yy，3|y，3y．将1x，3y代入题中方程，得153,5zz．若2x，则25|2yy，25|y．由2y知，y不存在．若3x，则37|2yy．以，327yy，又3y，因此，4,5,6,7y．经验证只有7y符合37|2yy．将3,7xy代入题中方程，得6321,3zz．∴符合条件的正整数解有(),,1,3,5xyz或3,7,3．14．5解：一方面可以构造5项的数列：2,2,5,2,2符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6项，作出如下排列：123234345456,,,,,,,,aaaaaaaaaaaa由每行的和为负数，知这12个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12个数之和为正数．矛盾．三、解答题15．解：（Ⅰ）函数gx的图像恒过定点A，A点的坐标为2,2又因为A点在fx上，则32log22fa即23a，∴1a（Ⅱ）|(2)2|2gxb即|21|22xb，∴|21|2xb由图像可知：021b，故b的取值范围为1(0,)2．（Ⅲ）21nna，12(21)(21)nnnnb1112121nn∴123nbbbb11113213n，nN．16．解：（Ⅰ）如图所示，设四边形1122FBFB的内切圆与边12BB的切点为G，连接3,||2OGOG．由22221||||2OBFSOBOFV221||||2BFOG，2222||,||,||OBbOFcBFa，得32bca．又12cea，222abc，解得2,3ab，故椭圆C的方程为22:143xyC．（Ⅱ）根据巳知条件，可设直线MN的方程为1ykx，代入椭圆方程，整理得(2222)(348430kxkxk．设1122(,),(,)MxyNxy，则2122834kxxk，21224(3)34kxxk．又4,3Pk，11,0F，由1PMMFuuuruuur，1PNNFuuuruuur，得1141xx，2241xx．∴12124411xxxx12121225()8(1)(1)xxxxxx，∵121225()8xxxx22224(3)825()83434kkkk2222824402432034kkkk，∴0为定值．17．解：（Ⅰ）对fx求导得222()()xxxxexefxae(2)xxxae，设直线1yxe与曲线yfx切于点00,Pxy，则00200001(2)1xxaxxeexxaee