数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆

第17讲直线与圆对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。-----庞加莱知识纵横直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，已知ABC，90,6CBCAC．O是AB的中点，⊙O与BCAC、分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG=．（杭州市中考题）思路点拨连OD,BFBG，先求出BFOD、的长。【例2】如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为心作半圆与ACAB、相切，切点分别为ED、．过半圆上一点F作半圆圆的切线，分别交ACAB、于NM、．那么2BCCNBM的值等于（）A.81B.41C.21D.1（天津市竞赛题）BMO思路点拨分别从NM、点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻与CNO的关系式关键。【例3】如图，已知直线PA交⊙O于BA、两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分PAE，过C作PACD，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若6DADC，⊙O的直径为10，求AB的长度．（2011芜湖市中考题）思路点拨对于（2），在（1）的基础上，设xDA，则xCD6，由角平分线性质或垂径定理建立x的方程。【例4】如图，已知⊙O的半径为cm6，射线PM经过点O，cmOP10，射线PN与⊙O相切于点Q．BA、两点同时从点P出发，点A以scm/5的速度沿射线PM方向运动，点B以scm/4的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切。（南京市中考题）思路点拨对于（2），把相关线段用t的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关键。【例5】如图，已知三角形ABC内接于⊙O，BDAD、为⊙O的切线，作BCDE//交AC于E，连接EO并延长交BC于FF,求证：FCBF（太原市竞赛题）分析要证明FCBF，只需证明BCOF即可，连ODOBOA,,，将问题转为证明EFCDAO动态思维【例6】如图，已知点)0,36(M，)6,0(N，经过NM、两点的直线1以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交x轴、y轴于BA、两点，与此同时，点P从点N出发，在直线1上以每秒1个单位的速度沿直线1向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为t秒（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作ABOC于C，过C作轴xOC于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．（无锡市中考题）分析问题涉及平移点的运动，把相关线段用t的式子表示是解题的基础，而化动为静（画出相切时图形），分类讨论（⊙P在左侧与OC相切）是解题的关键。学历训练基础夯实1.如图，AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若36A，则C度．（河北省中考题）2如图，⊙M与x轴相交于)0,8(),0,2(BA，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是（）（沈阳市中考题）3.如图，PBPA、切⊙O于点BA、，点C是⊙O上一点，且65ACB，则P=度．（河南省中考题）4.如图，直线CDAB、相交于点O，30AOC，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，cmPO6．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件时，⊙P与直线CD相交．（甘肃省中考题）5.已知，ACAB、与⊙O相切于CB、，50A，点P是圆上异于CB、的一动点，则BPC的度数是（）A．65°B．115°C．65°和115°D．130°和50°6.如图，已知BA、两点的坐标分别为)1,0(),0,2(，⊙C的圆心坐标为)1,0(，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是（）A．2B．1C．22-2D．2-2第4题（苏州市中考题）7.如图．⊙0的半径为2，点A的坐标为)32,2(．直线AB为⊙O的切线，B为切点，则点B的坐标为（）A.5823，B．)13(，C．)5954(，D．)31(，（威海市中考题）8.已知：如图，AB为⊙O的直径，CBCD、为⊙O的切线，BD、为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接BDAD、．以下结论：①OCAD//；②点E为CDB的内心；③FEFC；④CFABFBCE．其中正确的只有（）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④9.如图，直线434xy交x轴与B点，交y轴于A点，⊙'O过两A、O两点。（1）如图①，若⊙'O交AB于点C,当'O在OA上时,求弦AC的长。（2）如图②，当⊙'O与直线l相切于A点时，求圆心'O的坐标。（3）当AO'平分AOB的外角时，请画出图形，并求⊙'O的半径长。第7题第8题第6题10.如图，在ABCRt中，12,9,90ACBCC，ABC的平分线BD交AC与点D，DBDE交AB于点E．（1）设⊙O是BDE的外接圆,求证：AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求ACEF的值．（芜湖市中考题）能力拓展11.如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是a2，则PA的长是．（浙江省竞赛题）12.如图，在ABCRt中，90A，⊙O分别与ACAB、相切于点FE、，圆心O在BC上，若bACaAB、，则⊙O的半径等于．13.如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点，PC与圆D相切于点C，APC的平分线交AC于点QQ，则PQC=（四川省竞赛题）第10题第11题第13题第12题14.如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，NM,为切点，DFCE,交于点P．则AE=，PMN的面积是．15.如图，已知直线l的解析式是434xy，并且与x轴、y轴分别交于BA、两点．一个半径为5.1的⊙C，圆心C从点)5.1,0(开始以每秒5.0个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆运动的时间为（衡州市中考题）16.如图在边长为2的正方形ABCD中，OFE,,分别是ADCDAB,,的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是弧EF上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BCBC于点GG．若3BMBG，则BK=．（金华市中考题）17.如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在弧AB上任取一点C（点C与BA,不重合），过点C作ABCD于D，E是CD的中点，连接BE并延长交AP于点F，连接CF．（1）当点C是弧AB的中点时（如图1），求证：直线CF是半圆O的切线；（2）当点C不是弧AB的中点时（如图2），试猜想直线CF与半圆O的位置关系，并证明你的猜想．（苏州市中考题）第15题第14题第16题18.如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．（河北省中考题）图，在等腰ABC中，已知ACAB,C的平分线与边AB交于点P，19.如S、M分别为ABC的内切圆I与边BCAB、的切点，作ACMD//,交圆I于点D.证明:PD是圆I的切线。（全国初中数学竞赛题）综合创新20.如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC叫⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．（1）求证：CD=AE；（2）求AE的长．（四川省竞赛题）21.如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若342DES，求△ABC的周长．（广州市中考题）