三角函数诱导公式

2.2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？公式一：sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ3.你能求sin750°和sin930°的值吗？对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？该公式有什么特点，如何记忆？公式二：tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式三：tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考3：根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？yα的终边xo-α的终边P(x,y)P(x,-y)思考：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式四：tan)tan(cos)cos(sin)sin(2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上原函数的象限符号.思考：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？函数同名，象限定号！2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin（2π－α）=－sinα，sin（3π－α）=sinα等.1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.诱导公式四sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。诱导公式三sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。诱导公式二sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。诱导公式一sin)2sin(k，cos)2cos(k，tan)2tan(k。函数名不变，符号看象限。利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想.任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数思考：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则的终边与单位圆的交点为P2（y，x），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？2α的终边P1(x，y)Oxy的终边2P2(y，x)公式五：sin)2cos(cos)2sin(思考：根据相关诱导公式推导，，分别等于什么？)2sin()2cos(公式六：sin)2cos(cos)2sin(思考：与有什么内在联系？22)2(2思考：诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k奇变偶不变，符号看象限.例化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(20y=1xy1-147235223222322523724y=-1正弦函数y=sinx(x∈R)的图象定义域为R）π（Zk2k）π（Zkk2xy1-1472352232223225237242x2x值域为[-1,1]ωπ的周期为，ωφ）（（ω2),00sinTRxAxAy性质二：周期性)0,(2sinkZkkxyπ的周期正弦函数2T正弦函数y=sinx的单调性和奇偶性）（πππ，减区间：Zkkk]22322[）（πππ，增区间：Zkkk]2222[1.sinα、cosα、tanα的几何意义.oxy11PMAT正弦线MP余弦线OM正切线AT想一想?三角问题几何问题正弦函数.余弦函数的图象和性质(1)列表(2)描点(3)连线632326567342335611202123012123212300212312,0,sinxxy2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？---223xy0211---xy正弦函数.余弦函数的图象和性质21函数2,0,sinxxy图象的几何作法oxy---11---1--1oA作法:(1)等分3232656734233561126(2)作正弦线(3)平移61P1M/1p(4)连线正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦函数.余弦函数的图象和性质因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,22正弦曲线xy---------1-12o462463余弦曲线（平移得到）余弦曲线（几何作法）正弦函数.余弦函数的图象和性质与x轴的交点)0,0()0,()0,2(图象的最高点图象的最低点)1,(23与x轴的交点)0,(2)0,(23图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,(4关键五点(五点作图法)2oxy---11--13232656734233561126-oxy---11--13232656734233561126)1,2(简图作法(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2)描点(定出五个关键点)正弦函数.余弦函数的图象和性质例1．画出下列函数的简图（1）y=sinx+1,x∈[0,2π]列表描点作图-2223211-xyo-xxsin1sinx101010210102232（2）y=－cosx,x∈[0,2π]解:（1）]2,0[,sin1xxy]2,0[,sinxxy2-22311xyo-(2)xxcosxcos0223210-101-1010-1]2,0[,cosxxy]2,0[,cosxxy正弦函数.余弦函数的图象和性质y---------1-12o46246)cos(cosxxysin[()]sin()22xx由于所以余弦函数Rxxy,cos与函数Rxxy),2sin(是同一个函数；y=sinx图象左移便得到的图象2余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个单位长度而得到．2sin()2yx正弦函数.余弦函数的图象和性质---1--oxy---111o3232656734233561126余弦函数2,0,cosxxy的图象---1--oxy---1121oA32326567342335611261P1M/1py正弦函数.余弦函数的图象和性质l1M1Q2M(1)等分作法：(2)作余弦线(3)竖立、平移(4)连线2Qyx---1--oxy---1121oA32326567342335611261P1M/1pyoxy---11---1--1o3232656734233561126正弦函数.余弦函数的图象和性质因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，…与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,2余弦曲线2o46246xy---------1-1例.用五点法作出下列函数图象:解:(1)y=2sinx1(2)y=sinx2xsinx2sinx1sinx20232201-100020-200120120y=2sinx1y=sinx2xo2-1y1232212-122-2---振幅变换(3)y=sin2x1(4)y=sinx2解:2xsin2x1sinx20232201-1001x2y=2sinx1y=sinx2x043420232201-100x0342x-1o2y1322523724434---周期变换解:0232202-200x35613127122x6122sin(2x-)6xo3y127125613122-2y=sinx横坐标变为原来的12纵坐标不变y=sin2x向右平移12y=sin[2(x-)]12=sin(2x-)6纵坐标变为原来的2倍横坐标不变y=2sin(2x-).6(5)y=2sin(2x-)6例小结:1.对于函数y=Asin(x+)(A0,0):A---振幅,2T---周期,1fT---频率,x+---相位,---初相.2.图象的变换:(1)伸缩变换振幅变换周期变换(2)平移变换上下平移左右平移(-----形状变换)(-----位置变换)y=sinx向左(0)或向右(0)平移个单位y=sin(x+)横坐标变为原来的倍纵坐标不变1y=sin(x+)纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(x+)y=Asin(x+)(A0,0)的图象可由y=sinx经过如下变换得到:y=Asin(x+)(A0,0)的图象可由y=sinx经过如下变换得到:y=sinx向左(0)或向右(0)平移个单位y=sin(x+)横坐标变为原来的倍纵坐标不变1y=sin(x+)纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(x+)或:y=sinxy=sinx横坐标变为原来的倍纵坐标不变1纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(x+)向左(0)或向右(0)平移个单位y=sin(x+)=sin(x+)yxsinyxsin()23例1.用两种方法将函数的图象变换为函数的图象。yxsin横坐标缩短到原来的纵坐标不变12yxsin26向左平移个单位yxxsin[()]sin()2623解法1：yxsin向左平移个单位3yxsin()312横坐标缩短到原来的纵坐标不变yxsin()23解法2：例2.用五点法作出函数yx223sin()的图象，并指出函数的单调区间。解：（1）列表x61237125623x02322y020-20（2）描点（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：yAxsin()例3.如图是函数的图象，确定A、、的值。T566()222Tyx22sin()解：显然A＝2x62260x()3yx223sin()解法1：由图知当时，y＝0故有所求函数解析式为yx22sin6yx226sin()yx223sin()3解法2：由图象可知将的图象向左移即得，即yx223sin()所求函数解析式为作法:(1)等分：(2)作正切线(3)平移(4)连线把单位圆右半圆分成8等份。83488483，，，，，利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x44288838320o正切曲线032是由通过点且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成(,0)()2kkZ渐进线渐进线正切函数的图像和性质小结：正切函数的图像和性质2、性质:xytan象向左、右扩展得到。再利用周期性把该段图的图象，移正切线得、正切曲线是先利用平)2,2(x,xtany1⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶