基本不等式及其应用复习课件

6．4基本不等式及其应用考纲点击1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.说基础课前预习读教材考点梳理1.基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：①__________.(2)等号成立的条件：当且仅当②__________时取等号．(3)两个平均数：a＋b2称为正数a，b的③______，ab称为正数a，b的④__________.2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥⑤______(a，b∈R)．(2)ab≤⑥__________(a，b∈R)．(3)a＋b22≤⑦__________(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥⑧______(a·b＞0)．(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)．3．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当⑨__________时，x＋y有最小值是⑩______(简记：“积定和最小”)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当⑪__________时，xy有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)．答案：①a＞0，b＞0②a＝b③算术平均数④几何平均数⑤2ab⑥a＋b22⑦a2＋b22⑧2⑨x＝y⑩2p⑪x＝y⑫s24考点自测1.已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是()A.ba＋ab≥2B.ba＋ab≥－2C.ba＋ab≤－2D．|ba＋ab|≥2解析：选项A、B、C中不能保证ba、ab为正．答案：D2．“a＞b＞0”是“ab＜a2＋b22”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＞b＞0⇒a2＋b22＞ab.∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，∴由a2＋b22＞ab⇒a，b∈R且a≠b/⇒a＞b＞0.答案：A3．当x＞1时，关于函数f(x)＝x＋1x－1，下列叙述正确的是()A．函数f(x)有最小值2B．函数f(x)有最大值2C．函数f(x)有最小值3D．函数f(x)有最大值3解析：∵x＞1，∴x－1＞0，x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.答案：C4．设x∈0，π2，则函数y＝2sin2x＋1sin2x的最小值为__________．解析：y＝2sin2x＋1sin2x＝2sin2x＋sin2x＋cos2x2sinxcosx＝32tanx＋12tanx.∵x∈0，π2，∴tanx＞0，∴32tanx＋12tanx≥232tanx·12tanx＝3，当且仅当tanx＝33时“＝”成立，故最小值为3.答案：35．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运__________年，营运的年平均利润最大．解析：求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润yx＝－x－62＋11x＝12－x＋25x≤12－225＝2，此时x＝25x，解得x＝5.答案：5说考点拓展延伸串知识疑点清源1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.题型探究题型一利用基本不等式求最值例1解下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x＞2，求x＋4x－2的最小值；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．解析：(1)方法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab≤14，∴ab≤116.所以ab的最大值为116.方法二：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴ab＝144a·b≤144a＋b22＝116，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．所以ab的最大值为116.(2)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以x＋4x－2的最小值为6.(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴4x＋9y＝(x＋y)4x＋9y＝13＋4yx＋9xy≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4yx＝9xy时等号成立，由x＋y＝1，4yx＝9xy，得x＝25，y＝35，∴当x＝25，y＝35时取等号．所以4x＋9y的最小值为25.点评：(1)求最值时，要注意“一正，二定，三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数，“1”的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记，千变万化不等式，透过现象看本质．在本例(1)中解法二采用了配系数，(2)中采用了添常数，(3)中利用了“1”的代换，如果(3)中若x＋y＝2，则如何用“1”的代换？显然x＋y2＝1，故4x＋9y＝x＋y2·4x＋9y.变式探究1(1)设0＜x＜2，求函数y＝3x8－3x的最大值；(2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．解析：(1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0，∴y＝3x8－3x≤3x＋8－3x2＝82＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号．∴当x＝43，y＝3x8－3x的最大值是4.(2)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，∴8x＋2y＝8x＋2y(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y时等号成立，∴当x＝23，y＝13时，8x＋2y有最小值18.题型二利用基本不等式证明不等式例2(1)证明不等式：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd；(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：(1)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.原不等式得证．(2)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.∴1a＋1b≥4.所以原不等式成立．点评：要从整体上把握运用基本不等式，如：a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋c2d2≥2abcd，本例中的第(2)小题中，还运用了“1”的代换，要正确理解并灵活应用．如1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b，其中a＋b＝1.变式探究2已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1.求证：1x－11y－11z－1＞8.证明：∵x、y、z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，∴1x－1＝1－xx＝y＋zx＞2yzx.①1z－1＝x＋yz＞2xyz.②1y－1＝x＋zy＞2xzy.③又∵0＜x＜1，∴1x＞1.同理1z＞1，1y＞1.将①②③三式相乘，得1x－11y－11z－1＞8.题型三利用基本不等式解应用题例3某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解析：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y1＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417.当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x＋303(x≥25)．∵y′2＝－300x2＋3，∴当x≥25时，y′2＞0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数，∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而390＜417，∴该厂可以接受此优惠条件．点评：①解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围．②在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“＝”号，此时要考虑利用函数的单调性求最值．变式探究3某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/米．中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解析：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米，再设总造价为y元，则有(1)y＝2x＋200x×2×400＋248×2×200x＋80×200＝800x＋259200x＋16000≥2800x·259200x＋16000＝2×800×18＋16000＝44800，当且仅当800x＝259200x，即x＝18米时，y取得最小值．∴当污水池的长为18米，宽为1009米时总造价最低，为44800元．(2)∵0＜x≤16,0＜200x≤16，∴12.5≤x≤16，x≠18，∴不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．由(1)知，y＝φ(x)＝800x＋324x＋16000(12.5≤x≤16)．对任意x1，x2∈[12.5,16]，设x1＜x2，则φ(x1)－φ(x2)＝800x1－x2＋3241x1－1x2＝800x1－x2x1x2－324x1x2＞0，∴φ(x1)＞φ(x2)，故y＝φ(x)在[12.5,16]上为减函数，从而有φ(x)≥φ(16)＝45000，∴当污水池的长为16米，宽为12.5米时总造价最低，最低总造价为45000元.归纳总结•方法与技巧1．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x＞2时，x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2＋2＝4.(2)0＜x＜83，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x)≤133x＋8－3x22＝163.2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a＋1a≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时“＝”成立．(2)ba＋ab≥2(ab＞0)，当且仅当a＝b时“＝”成立．•失误与防范1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一