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流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加基本方程组，边界条件及初始条件理想不可压缩流动的基本方程组是运动方程边界条件¾在静止壁面上，un=0在其切线方向上的速度¾在自由面上，P=Pa,Pa为大气压强。¾对绕流问题而言，还要加上无穷远处的边界条件内容方程组为四个一阶非线性偏微分方程，确定流速（u,v,w）和压力P，理论上可解，但实际求解是非常困难的，因为ui与P交错在一起，不能单独求出，且方程为非线性若流动为无旋问题，可以得到简化，由于流动是无旋的，必存在速度势函数φ，使得将其代入连续性方程可得即在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程)线性方程的一个优点是解的可叠加性再看运动方程，因为流体是理想不可压缩的，重力有势且运动是无旋可得：———拉格朗日积分对于定常流：则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：初始条件t=t0时边界条件¾静止固壁上¾自由面上：P=Pa¾无穷远处：连续性方程化为一个线性二阶偏微分方程----拉普拉斯方程、对这个方程的性质及解已经研究得很清楚了。运动方程由原来的微分方程积分结果变为一个有限关系式方程组由四个变成两个，未知数也由四个变成两个φ与P原来ui,P互相影响必须联解，现可分别求出φ与P，即先由拉普拉斯方程求出φ，再由拉格朗日积分或伯努利积分式中求出P来对无旋流得到几个方面的简化这些简化了方程的非线性，但也使方程从原来的一阶升至二阶理想不可压缩流体无旋运动的适用范围理想粘性力比其它类型的力小得多不可压缩通常条件下运动的的流体及低速运动的气体无旋运动理想正压流体、外力有势条件下，从静止或无旋状态启动的不定常运动及无穷远处均匀来流的定常连续绕流问题内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数，则可求出若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实质，因为当求流动的特征量ui,P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置有关。因而势函数为单值函数。，是封闭曲线L绕某一点的圈数，称为环量势函数为多值函数。速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)φ涉及到单值和多值问题在单连通区域在多连通区域内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函数¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加流动在平面内进行，即uz=0;垂直平面的垂线上个物理量相等即无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱体平板的绕流等平面流动及其流函数平面问题是指适用范围只有而无旋，可推出存在着速度势函数使得：速度势函数的性质我们已经讨论过了研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据——连续性方程，则称这一函数Ψ为流函数在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：若有一函数Ψ（x,y,t）并令则连续性方程为流函数的意义称为流函数•若已知，可由求出流速场•若ux，uy已知，可用积分知道了流函数与流速ux，uy之间的关系之后垂直与z轴的每个平面流动都相同，称平面流动速度势与流函数速度势函数平面流动速度势函数存在的条件此条件称柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使++udxvdywdz成为某一个函数ϕ(,,,)xyzt全微分的充要条件，即0wvyz∂∂−=∂∂0uwzx∂∂−=∂∂0vuxy∂∂−=∂∂ϕ=++dudxvdywdz而当t为参变量，ϕϕϕ∂=∂∂=∂∂=∂uxvywz的全微分为比较两式有柱坐标θϕϕθϕ∂=∂∂=∂∂=∂1rzVrVrVzϕ(,,)xyzϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂ddxdydzxyz无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流把称为速度势函数简称势函数用势函数表示速度矢量：ϕϕϕϕ=++∂∂∂=++=∇∂∂∂rrururrururVuivjwkijkxyzϕ(,,)xyz势函数的性质证：令为等势面，在其上任取一微元线段，上的速度为,求两者点积ϕ=(,,)xyzconstuurdsrVrVuurdsϕ=c()()Vdsuivjwkdxidyjdzkudxvdywdzdxdydzxyzdϕϕϕϕ⋅=++⋅++=++∂∂∂=++∂∂∂=uruurrrrrrr（1）流线与等势面垂直uurds在等势面上，故即速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等势面垂直。cϕ=0dϕ=0Vds⋅=uruurlVlϕ∂=∂2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的分量3）φ与Γ之间的关系ϕϕϕϕϕϕΓ=++∂∂∂=++∂∂∂==−∫∫∫BABABABBAAudxvdywdzdxdydzxyzd由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端点势函数的差，与曲线的形状无关若φ函数是单值的，则沿任一封闭周线k的速度环量等于零ϕΓ=++==∫∫0kkkudxvdywdzd4）在不可压流体中，势函数是调和函数由连续性方程∂∂∂++=∂∂∂0uvwxyzϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂2222220xxyyzzxyz有满足拉普拉斯方程的函数是调和函数流函数ψ在不可压流体的平面流中，应满足∂∂∂∂+==−∂∂∂∂0uvuvxyxy即由高数知识可知，此式是使成为某一个函数全微分的充要条件，即−+vdxudyψ(,)xydvdxudyψ=−+流函数的定义ψψψ∂∂=+∂∂ddxdyxy而的全微分又可表示为：ψ(,)xy比较两式有ψψ∂=∂∂=−∂uyvxθψθψ∂=∂∂=−∂1rVrVr极坐标称为流函数只要流动存在，无论是否有旋，是否为理想流体，都必定存在流函数ψ而dvdxudyψ=−+流函数与流线的关系流函数的特性ψ=constψ的等值线是平面上一条流线证明：由流线方程：=−+=0dxdyvdxudyuvψψ∂=∂∂=−∂uyvx而即ψψ∂∂+=∂∂0dxdyxyψ∴=c流函数与流量Q的关系ψ=0d故时,c是流线方程的解，它是平面上一条流线注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中ψ=cψ流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差ψψ=−BAQ流线ABψBψAV由此结果可知两流线之间流量保持不变与曲线AB的起始点无关若AB本身就是一条流线，则通过AB的流量为零若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是a:uvxyyxϕψϕψ∂∂∂∂====−∂∂∂∂b:等φ线与等ψ线垂直前已证明，流线与等势面垂直，而的线是流线故等φ线与等ψ线垂直ψ=constψ=cϕ=c流网流函数ψ与势函数φ的关系代入对平面无旋流ω∂∂=−=∂∂00zvuxyuvyxψψ∂∂==−∂∂将有：ψψ∂∂+=∂∂22220xy满足拉普拉斯方程，故是调和函数ψ在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函数¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加复位势与流函数、势函数间的对应关系流函数与势函数的关系ϕψϕψ∂∂∂∂==−∂∂∂∂,xyyx复变函数的理论，和可以组成以复变量为自变量的一个复变函数ϕψ=+zxiyϕψ=+()(,)(,)Wzxyixy柯西-黎曼条件它的导数为ϕψ∂∂=+=−∂∂dWiuivdzxx被称为流动的复位势，实部为势函数，虚部为流函数被称为复速度实部为速度在x方向的分量，虚部为速度在y方向的分量的相反数(,)WxydWdz复位势的性质1.两点的复位势之差是复势，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量2.复位势允许加任一复常数而不改变所代表的流动3.两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原两个复势之和ϕψ==+=Γ+∫∫∫∫lllldWdzdWdidiQdz势流叠加原理ϕϕϕϕϕϕϕ∇=∇++=∇+∇+∇=22123222123()0=++123VVVV势函数速度ϕϕϕϕ=++123内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函数¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加基本的平面有势流动势流叠加原理ϕϕϕϕ=++123由于φ函数和ψ函数都是调和函数，由调和函数的性质可知，调和函数的线性组合仍是调和函数，故可用ψψψψ=++123来描述一个新的有势流动即φ函数和ψ函数可叠加，叠加后仍是无旋流基本的平面有势流动¾均匀直线流动¾平面点源和点汇¾点涡¾二元涡平行流有几种情况：如图xV∞yV∞yxV∞vuαxy∞VΦ＝cΨ=c均匀直线流动讨论一般情况：∞Vα∞=cosuVα∞=sinvV可分解成由ϕϕϕαα∞∞∂∂=+=+∂∂=+cossinddxdyudxvdyxyVdxVdy积分有:速度场φ与ψϕααψαα∞∞=+=−(cossin)(cossin)VxyVyx同理:令有ψ=cαα−=(cossin)yxc解得:αα=sincosyx流线是斜线斜率是ααsincos求流线如α＝0流线平行与x轴如α＝90°流线平行与y轴∞==uVvo∞==0uvVρ+=pzcg点z相同，有=pc平行流中各点速度相等，任取两点写伯努利方程，都有在水平面上，各压力分布全流场压力为常数平面点源和点汇点源9单位时间内通过一半径为的圆周流出流量当时保持Q不变，则这种流动称为点源流（若流入，称点汇），Q称为点源（汇）强度0rπ=02rQrv→00rθϕϕθ∂∂===∂∂10,rVVrrπ=02rQrV由π±=2rQVr与r成反比为源rV0Q0Q只有径向流动点源的速度场为汇由2rrddrdVdrrVdrQVdrdrrθϕϕϕθθθπ∂∂=+=+∂∂==0积分22lnln22QQrxyϕππ==+9当φ＝const，即r=const，等势线为一族同心圆9当，故源点是奇点，不讨论0rrV=→∞点源势函数φ和流函数ψ流函数ψ由22rrddrdVdrrVdrQQrVdrddrθψψψθθθθθθππ∂∂=+=−+∂∂===0积分22QQyarctgxψθππ==9ψ＝const为流线，即θ=const，流线是半射线。9等φ线与等ψ线正交。2222rVpVpggggρρ∞∞+=+在源上任取一点与无穷远处写能量方程将，代入rV22218Qpprρπ∞=−⋅有0V∞P与r成抛物线正比。rp；rp0,,0rpprrp∞→∞→==r0rpp∞点源的压力分布点涡无限长的直线涡束所形成的平面流动。除涡线本身有旋外涡线外的流体绕涡线做等速圆周运动且无旋。=ΓI=0rV这种流动也称纯环流。若设点涡的强度为则在半径r处由点涡所诱导的速度为而θV点涡02rVVrθπ=Γ=VθrΓdscψ=cϕ=因为由环量定义202LLVdsVrdVrdrVπθθθθθθπΓ====∫∫∫2VrθπΓ∴=速度分布ϕθππΓΓ==22yarctgx2rddrdVdrrVdrrVddθθϕϕϕθθθθθπ∂∂=+=+∂∂Γ==积分令φ＝const，即θ＝const，等势线是半射线。0同理可求ψ：势函数φ流函数ψ2rddrdVdrrVdrVdrdrrθθψψψθθθπ∂∂=+=−+∂∂−Γ=−=积分22lnln22r