参数方程与极坐标(精华版)

1参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即)()(tfytfx，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆：sincos00ryyrxx（为参数，的几何意义为圆心角），特殊地，当圆心是原点时，sincosryrx注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1）x=2+3cos（2）x=sin（3）x=t+t1y=3siny=cosy=t2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：sincosbyax（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：sincos00byyaxx2Eg：求椭圆203622yx=1上的点到M（2,0）的最小值。3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线：tansecbyax（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：tansec00byyaxx4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：ptyptx222（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P0（x0，y0），倾角为的直线，P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数，t的几何意义为有向距离）说明：①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧②｜P0P｜=｜t｜直线参数方程的变式：btyyatxx00，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系3数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得)()(2222022220tbababyytbabaaxx，让tba22作为t，则此时t的几何意义是有向距离。Eg：求直线x=-1+3ty=2-4t，求其倾斜角.极坐标知识回顾：一、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点A（1，4）B（2，23）C（3，-4）思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期.（3）如无特殊要求，则极径取正值.直角坐标与极坐标的互化：直角坐标（x，y）极坐标（，）xMO图14=22yxtan=xy极坐标（，）直角坐标（x，y）x=cosy=sin练习1：将下列直角坐标化为极坐标A（1，-1）B（1，π）练习2：将下列极坐标化为直角坐标A（2，32）B（1，2）练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标（1）（4，3）（6，-32）；（2）（4，3）（6，32）二、直线的极坐标方程⑴0或0+π⑵cosa⑶cosa⑷sina⑸sina三、圆的极坐标方程00xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a5⑴a⑵cos2a⑶cos2a⑷sin2a⑸sin2a四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）设OA=PeMNMO，epcoscos1eep其中，当0e1为椭圆，e=1为抛物线，当e1为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义．1．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积。aaxOM图1cos2aaxOM图2cos2aaxOM图3sin2aaxOM图4sin2aaxOM图56解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt122tt，则点P到,AB两点的距离之积为22．过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,MN，求PMPN的值及相应的的值。解：设直线为10cos()2sinxttyt为参数，代入曲线并整理得223(1sin)(10cos)02tt则122321sinPMPNtt所以当2sin1时，即2，PMPN的最小值为34，此时2。3．直线12()2xttyt为参数被圆229xy截得的弦长为.【解析】：21512521155xtxtytyt，把直线122xtyt代入229xy得222(12)(2)9,5840tttt2212121281612()4()555tttttt，弦长为1212555tt74．直线112()3332xttyt为参数和圆2216xy交于,AB两点，则AB的中点坐标为________解：2213(1)(33)1622tt，得2880tt，12128,42tttt中点为11432333342xxyy考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定1．直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_______________。2．在极坐标系中，已知圆cos2与直线0sin4cos3a相切，求实数a的值。考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题1．在极坐标系20,,中，曲线sin2与1cos的交点的极坐标为______．2.已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy≤＜和25()4xttRyt，它们的交点极坐标为.考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题一、1．求直线11:()53xtltyt为参数和直线2:230lxy的交点P的坐标，及点P与(1,5)Q的距离。2．已知直线113:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_______。83．直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为______________。二、距离最大最小问题4．在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值。解：设椭圆的参数方程为4cos23sinxy，4cos43sin125d4545cos3sin32cos()3553当cos()13时，min455d，此时所求点为(2,3)。5．点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。解：设(4cos,3sin)P，则12cos12sin245d即122cos()2445d，当cos()14时，max12(22)5d；当cos()14时，min12(22)5d。考点五：极坐标方程与参数方程混合1．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为23,2252xtyt（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。【解析】（Ⅰ）由25sin得22250,xyy即22(5)5.xy9（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23240,tt由于2(32)4420，故可设12,tt是上述方程的两实根，所以121232,(3,5),4ttlPtt又直线过点故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t|+|t|=12t+t=32。2．在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为2cos(22sinxy为参数），M为1C上的动点，P点满足2OPOM，点P的轨迹为曲线2C．（I）求2C的方程；（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，求|AB|．解：（I）设P(x，y)，则由条件知M(2,2YX).由于M点在C1上，所以sin222,cos22yx即sin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数）（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3。所以21||||23AB.3.已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα，(t为参数)，圆C2：x＝cosθy＝sinθ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；10(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα，(α为参数)．P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．