几何学的发展简史

几何学的发展简史上海市第十中学数学教研组王沁[课前设计]中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、内容与教材内容的相关程度、在几何史上地位的重要性等方面进行选取。第四步，组织教案。确定前一部分讲几何学发展简史，后一部分让学生用学习过的几何知识（主要是立体几何）来解决一些实际问题。数学应用能力是基础数学教育的重要组成部分，同时它也是学生比较薄弱的环节。中学里的数学内容多半是纯粹的数学基础知识，而现在国家提倡数学素质教育,那么提高数学应用能力是其中重要的一环。为了提高同学对立体几何的兴趣，提高学生应用立体几何知识解决实际问题的能力，我选择了四道应用性较强的例题:平改坡问题,遮阳篷的角度,飞机高度测量和蜂巢表面积最小问题。鉴于学生的实际数学水平与能力，我没有让学生从数学实际问题出发自行建立数学模型，而是在帮助他们建立了数学模型后，指导学生如何看懂模型，如何联系学习过的数学知识解决数学问题。我希望通过我的课，能让更多的学生了解数学的历史，了解中国数学的历史，为我国古代数学家的杰出贡献而自豪。同时让同学看到数学是多么有用的一门学科，多么有趣的一门学科，希望无论是数学成绩好还是数学成绩不理想的同学都能对数学永远保持一分兴趣。[教案]教学目标：（1）让学生大致了解几何学（主要是立体几何）学在中外的发展简史；（2）通过使用古代数学家的方法解决问题，让学生亲身体会中国古代科学家的成就；（3）通过中外数学家的成就比较中外古代研究数学的思想的不同；（4）通过学习过的立体几何知识来解决一些实际问题。教学重点：割补法应用于解决实际问题。教学难点：实际问题向数学模型的转化。教学过程：前言“《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局。”—吴文俊《汇校九章算术序》[引入]数学的历史就是“数”与“形”的发展史。我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐步认识了数与形的概念。“形”的意识也许跟人类历史一样古老。例如：在中国出土的新石器时代的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，这些都是几何知识的萌芽。古埃及在齐阿普斯王朝(公元前2900年左右)时代建造起来的金字塔,其塔基是一个“标准”的正方形，各边的误差不超过万分之六。希腊人创造了他们自己的文明和文化，对现代西方文化的发展影响最大，对今日数学的奠基起了决定作用。[新课讲授]一﹑古希腊几何学⒈古典时期(公元前600年到公元前300年)（1）泰勒斯（约前640—前546年）将埃及的实用几何带入希腊，开始证明几何命题。（2）毕达哥拉斯（约前585—前500年）学派对图形进行广泛的研究。开头研究的一类问题叫面积应用问题。几何上有三个著名的作图问题：作一正方形使其与给定的圆面积相等；给定正方体一边，求作另一正方体之边，使后者体积两倍于前者体积；用尺规三等分任意角。有好些数学结果是为解决这三个问题而得出的副产品。（3）希波克拉底（前5世纪下半叶）已研究画圆为方及立方倍积问题。据说最早把间接证明引用到数学里的是他。他所著的几何书叫《几何原本》，已经失传。（4）德谟克利特（约前460—前370年）发现棱锥和圆锥的体积分别等于同底等高的棱柱和圆柱体积的三分之一（但是证明是由欧道克斯作出的）。他的几何著作很可能是欧几里德《几何原本》问世以前的重要著作。（5）亚里士多德（约前384—前322年）创造了演绎逻辑，虽然他的哲学对数学的直接影响很少，但对古希腊的论证几何等数学的发展起到明显的促进作用。他给“定义”、“定理”、“公设”等以明确的解释。（6）欧几里德（前300年左右生活在亚历山大城并在该处授徒）著《几何原本》，确立几何学的逻辑体系，成为世界上最早的公理化数学著作。《原本》共十三篇，第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比例论；第六篇讲相似形；第七、八、九篇是数论；第十篇是不可公度量的分类；第十一、十二、十三篇是立体几何及穷竭法。西方曾有两本影响最广的书，一本是《圣经》，另一本就是《几何原本》。《原本》是使用时间最长的数学教科书。《原本》实际上是古希腊古典时期一些个别发现的整理，是众多学者智慧的结晶，欧几里德对前人的成果加以整理、归纳、完善和发展，他依然是个大数学家。虽然它的内容存在缺陷，而且与现代教学趋势日益不相适应，但从历史的角度看，它确实是一部伟大的著作，无愧于“西方数学的代表作”的称号。这个时期的数学仅仅是定性的。那个时期的知识分子只限于搞哲学和科学工作，不去搞商业和贸易；有教养的人不关心实际问题。他们就这样把数学思维和实际需要割裂开来，而且数学家也没有感到有去改进算术方法和代数方法的压力。只有当有文化的阶级与奴隶阶级之间的壁垒在亚历山大时期被冲破而且有教养的人关心实际事务的时候，重点才转移到数量知识以及发展算术和代数方面。⒉亚历山大时期(前300年到公元600年)阿基米德（前287—前212年）利用穷竭法求出球的表面积和体积公式,研究抛物弓形面积,给出π的范围,它的几何著作是希腊数学的顶峰。大约从公元1世纪初起,亚历山大的数学工作特别是几何工作开始衰落.而此时在东方的中国数学正蓬勃发展。二、中国古代几何学中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内已有“规”和“矩”两个字,规是用来画圆的,矩是用来画方的.春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡，新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。战国时期人们通过田地及国土面积的测量，城池的修建，水利工程的设计等生产生活实践，积累了大量的数学知识。（1）但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业造成空前的浩劫，西汉作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。它对于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》对于希腊和欧洲数学。中国古代的几何一般不讨论图形离开数量关系的性质，而要计算出长度、面积、体积。在《九章算术》的方田章中有各种多边形、圆、弓形等的面积公式；商功章讨论了各种立体的体积公式。《九章算术》后，中国的数学著述基本采用两种方式：一是为《九章算术》做注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展，到魏晋时期，思想文化领域中儒家的统治地位被削弱，代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然可靠的基础之上。（2）刘徽和他的《九章算术注》便是魏晋时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。该书前九卷全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章》的某些不正确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径。以多面体体积的算法为例，在实际中使用了长方体的体积公式：V=abh。堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的几何体，其体积显然是V=abh/2；沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是四棱锥，称为阳马，其体积为V=abh/3，另一部分为四面都是直角三角形的三棱锥，叫鳖臑，其体积V=abh/6。刘徽用无穷小分割的方法证明了上述公式。在平面几何中用直角三角形或正方形在立体几何中用锥体和长方体进行移补,这构成了中国古代几何的特点.刘徽未能解决球体积公式的证明，但他创造性地给出了他的“牟合方盖”，但是他未能证明，在书中他也坦诚直言，表示“以俟能言者”。200多年后出了一位“能言者”，那就是祖暅之。（3）《缀术》包含了祖冲之（429—500年）和儿子祖暅之（一作祖暅，生平不详）的数学贡献。祖暅沿用刘徽的“牟合方盖”，证明了球体体积的计算问题，充分显示了中国古代数学家的聪明才智。由于该书内容深奥，隋唐算学馆的学官（相当于今天大学数学系的教授）读不懂，后失传。刘徽和祖氏父子在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想，达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。三、我们研究探索的问题问题1为了改善住房条件，上海近些年大力推行“平改坡”工程。一个平顶建筑物屋顶是一个长为a米宽为b米的矩形，在其上增加一个如图所示的屋顶，屋脊PQ的长为m米，屋顶的高为h米，求增加的屋顶的体积。[分析]将屋顶截成中间成三棱柱（堑堵），两边成四棱锥（阳马）。仅此，我们可以看出刘徽的这组模型在几何体计算中的作用。问题2遮阳棚的角度卖西瓜的小商贩决定利用一面南北方向的墙（如图所示），在上面用AC=3mBC=4mAB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上），他认为从正西方向射出的太阳光线与地面成75度角时，气温最高，要使此时的遮阳棚面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面成多大角度？C1B1A1CBA问题3飞行的高度在南北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100√7千米/时。从汽车里看飞机，在某个时刻看见是正西方向，仰角是30度，在36秒后，又看见飞机在北偏西30度，仰角为30度，问飞机的飞行高度是多少千米？问题418世纪，法国科学家雷奥乌姆尔和马拉尔蒂等人认真观测蜂巢，发现它外形是正六棱柱，下底是正六边形（设边长为2a），顶部是三个全等菱形，三个菱形与棱柱轴线成等角，三者彼此斜依而下倾，棱柱侧面皆全等直角梯形。设较长侧棱AA1=h，问：（1）当菱形的边长变化时，蜂巢的体积是否改变？请说明理由。（2）欣赏了蜂巢的艺术性之后，科学家在深思这种奇特结构的实用价值，猜想这种蜂房的顶盖设计可能是节省其建材蜂蜡的最佳选择。雷奥乌姆尔就这种猜测请教瑞士数学家、巴黎科学院院士科尼希，科尼希严格证明了人们关于蜂巢最优性的猜测是真的。请你也来计算一下，在体积相同的情况下，菱形内角多大时，蜂巢表面积最小？结束语“继续发扬中国古代传统数学的机械化特色对数学各个不同领域探索实现机械化的途径，建立机械化的数学，则是本世纪以至可能绵亘整个21世纪才能大体趋于完善的事。”—吴文俊《现代数学新进展序》[专家点评]一般情况下，开课从来不会开这样的课，把数学史作为上课讲授内容的一个重要组成部分，占了近一半的教学时间。但是数学史又是数学的一个不可缺损的部分。我本人在以前也并不了解数学的发展史，也是工作后，看了一些有关的书籍，慢慢地对数学史也有了一定的了解。我感到数学史对我影响最大的是历史上许多数学家的人格魅力。为了坚持真理，他们不顾世人的嘲笑、谩骂、甚至迫害，有些人甚至付出了生命的代价。比如非欧几何的发现。其实当时有三个人同时发现。年轻的玻利亚因为怀疑自己的成果被高斯剽窃，一气之下不再研究数学。高斯屈从于教会的势力，不敢勇敢地发表自己的发现。而只有俄国有创新精神的罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣读了他的开创性论文《关于几何原理的议论》，提出了罗巴切夫斯基公理，这一天公认为“非欧几何”的诞生日。他公然向人类几千年来确信不疑的欧氏几何挑战，在当时遭到