正弦定理PPT

正弦定理（一）A2A1ABCBA的长度与角C的大小有关吗?BA的长度与角C同时增大或同时减小那么，三角形中角C与它的对边AB的长度是否存在定量关系?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:ACBbaccaAsincbBsin1sinCcc=CcBbAasinsinsin所以：对于一般的三角形，上述结论是否仍然成立？在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即CcBbAasinsinsin正弦定理2020/5/12(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有(2)若三角形是锐角三角形,如图1,证明：？a2020/5/12由(1)(2)(3)知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2a同一个三角形中，边与其对角的正弦成正比，可将其设为k,那么即存在正数k使a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC，那么k为何值？在直角三角形ABC中，=c,c也为该三角形外接圆的直径提示：常数k与△ABC外接圆的半径R的关系.CcBbAasinsinsin=k0CcBbAasinsinsin2020/5/12证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,求证：CcBbAasinsinsin=2R（2R为△ABC外接圆直径）RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理另一表述：同一个三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一个常数，即存在正数k使a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.2020/5/12（1）（2）正弦定理的两种表述及证明方法①从特殊到一般，直角,锐角和钝角三角形②在圆中构造直角三角形，从一般到特殊正弦定理：sinsinsinabcABC＝2R课堂小结(R为三角形外接圆半径)作业：1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30°.(2)b=40，c=20，C=45°.解三角形：一般的，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理（二）sinsinsinabcABC＝2R正弦定理反映了一般三角形中边于角的度量关系,sinsinCcBb或则我们可以“知三求一”，知两角和任一边求另一角和其他两边；知两边和其中一边的对角求另一边及其他角.,sinsinCcAa2020/5/12例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求a,b(精确到0.01）.解：且105C)(A180B∵CcBbsinsin∴b=CBcsinsin19.32=30sin105sin10CcAasinsin∵∴a=CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a定理的应用2020/5/12例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当Ｂ＝120°时B16300ABC16316