概统精华公式提纲全整理

第一章概率论基础知识§1.1.1随机试验特点:1.可在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。§1.1.2样本空间定义:Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω为样本空间.而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.基本事件:只含有一个样本点ω的事件,记为{ω}.两个特殊事件:必然事件、不可能事件.§1.1.3事件的关系及运算交换律,ABBAABBA结合律()(),()()ABCABCABCABC分配律()()(),()()()ABCABACABCABAC对偶律,ABABABAB§1.2.1频率及性质:().nnAkkAkAfAn定义在次重复试验中，若事件发生了次，则称为事件发生的频数，称为事件发生的频率，记为频率的性质:1211(1)01(2)1;()0;3,,,()().nnnrrrniniiifAffAAArfAfA；＝若为个两两互斥的事件，则§1.2.2概率的公理化定义1.1211,,,P()P()iiiiAAAA对于两两互不相容的事件2.A,BAB互斥（即）()()()PABPAPB3.()()()PABPAPAB4.()()()()PABPAPBPAB()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC§1.3.1古典概型（1）试验只有有限个可能结果;（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；在古典概型中，若中有n个样本点，事件A中有k个样本点，则()knPA.Eg.两个基本的摸球模型:口袋中有N只球，其中m个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k个红球的概率。（1）有放回抽样(二项分布).()()(1)kknkkknknknnCmNmmmpCNNN（2）无放回抽样(超几何分布).,0,1,...,min(,)knkmNmknNCCpkmnC§1.3.2几何概型几何概率计算方法：()ASPAS.§1.4.1条件概率():()0,(|)().定义设，是两个事件，且则称为事件发生的条件下事件的条件概率PABABPBPABBPBA条件概率性质:11(1).0(|)1(2).(|)1(3).()(|)(|)(4).(|)1-(|)nnijiiiiPBAPAAAijPABPABPBAPBA§1.4.2乘法公式1212112-1()0,()0,()()(|)()(|)(...)()(|)...(|...)当利用条件概率有推广到一般情形：nnnPBPAPABPBPABPAPBAPAAAPAPAAPAAAA§1.4.3全概率与贝叶斯公式11:,0,(,1,2,,,),(1)()()(|)定理设是样本空间的完备事件组即iinijiiniiiAPAAAfijLnijAPBPAPBA1()()(|)()(|)(2)(|)()()()(|)iiiiiiniiiPABPAPBAPAPBAPABPBPBPAPBA§1.5事件的独立性定义1.4:设A,B是随机试验E的两个事件，若()()()PABPAPB,则称事件A,B相互独立性质:1.()0,,(|)()PAABPBAPB若则独立2.,ABABABAB独立与、与、与都独立§1.5.1事件的独立性121.5:2()()()(),定义设，，，是个事件，如果，是其中任意两个事件,有则称这个事件两两独立。nijijijAAAnnAAijPAAPAPAn事件A、B、C两两相互独立,若在此基础上还满足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。§1.5.2贝努利概型定理1.3:n重贝努利试验(每次试验结果只有两个A与A,且0P(A)1)中,事件A发生k次的概率为:()(1),(0,1,...,)kknknnPkppknC多项概率公式121211212121212,,,...,()(0,1),1,,,...,,,...,!...,!!...!....knkiiiikkrrrkkknAAAPAppAAAnrrrnppprrrrrrn重独立试验中每次试验可能的结果是且则在次试验中各发生次的概率为其中第二章随机变量及其分布§2.1.1随机变量:,(),():,,,,,?.XXXXxFxPXxFxXababPaXbFbFa定义设是一试验的样本空间如果对于每一个样本点规定一个实数这样就定义了一个定义域为的实值函数称为随机变量.定义设是随机变量对任意实数规定＝称为随机变量的分布函数。例如对任意实数＝分布函数的性质:012120000001,?.201()()lim()0,()()lim()1;3,(0)lim()().4,()()(0).xxxxxxFxFxxFxFPXFxFPXFxFxxFxFxFxxPXxFxFx若则对任意实数，且是右连续的：对任意实数对任意的§2.2离散型随机变量定义:若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取值的概率P{X=xk}=pk,(k=1,2,…),称其为离散型随机变量X的分布律或概率分布.可表为1212~kkxxxXppp.分布律的性质:110,1,2,213{}kkkkkaxbpkpPaXbp§2.2.2常见的离散型分布(1)几何分布1:1,2,,(),1,2,...01,1,,~().kXppXkpqkkpqpXpXGp定义若随机变量取值为且其中则称服从参数为的几何分布记为,,,~().XXGp可见若一个随机变量表示重复的伯努利试验中首次成功出现在第次则(2)超几何分布:,,,,0,1,...,,,~(,,).,,,,,,~(,,).knkmNmknNCCNnmXpPXkCknXXHnmNNmNnXXHnmN定义设为正整数若随机变量的分布律为其中则称服从超几何分布记为古典概型中不放回摸球试验个球其中有个红球随机从个球中取个取到红球的个数为则(3)二项分布:0,12,,,{},0,1,,,,~,.01,1,~1,,01.~.1kknknXnPXkCpqknXnpXBnpnXBpXpp定义设随机变量的可能取值为，且则称服从参数为的二项分布记为特别地当时二项分布即为分布(4)泊松分布:0,1,2,,{},0,1,2,(0)!,~().kXPXkekkXlXP定义若随机变量可能的取值为且则称服从参数为的泊松分布§2.3连续型随机变量:,()()(),,~.xXFxfxFxftdtxRXfxXXfx定义设随机变量的分布函数若存在非负可积函数，使得则称为连续型随机变量为的概率密度函数，简称概率密度，记为密度函数本身并不表示概率,对密度函数的积分才是概率.也就是说,密度函数图象下的面积才表示概率.密度函数的性质1.()0;2.()1.fxfxdx:?,,1,,{}().2()()(())定理为连续型随机变量和分别为的分布函数与密度函数则对任意有是连续函数，在的连续点处baXFxfxXababPaXbfxdxFxFxfxfx§2.3.2几种常见的连续型分布(1)均匀分布X~U[a,b]1,[,];:()0,.[,],~,.0,;(),;1,.xabXfxbaXabXUabxaxaXFxaxbbaxb定义设随机变量的密度函数为其它则称在区间上服从均匀分布记为的分布函数为：(2)指数分布X~e(),0;:?()(0)0,0.xexXfxxX定义设随机变量的密度函数为则称服从参数为的指数分布1,0;()(0)0,0xexXFxx的分布函数为：(3)Γ函数与Γ分布10函数的定义：xxedxΓ函数的性质:(1)1(),01(2)112(3)-1，．如果为自然数，则！nnn--10:00,.,1().定义设随机变量的密度函数为则称随机变量服从参数为的分布注意时，分布为指数分布xxexXfxxXe分布§2.4随机变量函数的分布一般方法()..(),(),(1)()(2)(),()()(())(())()(3)()()()(4)()()0已知连续型有密度则确定的值域对任意求出的分布函数对求导，可得，对时，取YGyYYYrvXfxYgXYRYyRYYFyPYyPgXyPXGyfxdxFyfyyRYyRYfy第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及其分布函数§3.1.1二维随机变量定义:设X与Y是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X,Y)为二维随机变量.定义:设(X,Y)是二维随机变量，任意(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。几何意义：分布函数F(x,y)表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),则P{x1Xx2，y1yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).分布函数F(x,y)具有如下性质：21212121  ,,0,1,(,)lim(,)1(,)lim(,)0(,)lim(,)0(,)lim(,)02.,? (,)(,)?       ,?,(,)xyxyxyxyRFxyFFxyFFxyFyFxyFxFxyyRxxFxyFxyxRyyFxy1.归一性对任意单调不减对任意当时，；对任意当时002000021122121222122111(,).?  3.xR,yR,(,0)lim(,)(,).(0,)lim(,)(,);4.(,),(,),(), (,)(,)(,)(,)0.yyxxFxyFxyFxyFxyFxyFxyFxyxyxyRxxyyFxyFxyFxyFxy右连续对任意矩形不等式对于任意，－－＋反之,任一满足上,,.FxyXY述四个性质的二元函数都可以作为某个二维随机变量的分布函数§3.1.2二维离散型随机变量定义:若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj}＝pij,(i,j＝1,2,…),为(X,Y)的分布律,或联合分布律.联合分布律的性质:111.0,,1,2,2.1ijijijpijp＝；＝点集概率与分布函数的计算:(,)11111100,((,)),,(,)(,),(,)(,)(,)(,)(,),1,2,ijijijxyGijxxyyijijijijijiijjGPXYGpXYFxyppFxyFxyFxyFxyPxXxyYyijxy对任意二维点集有特别地二维离散型随机变量的二维分布函数可用概率分布求出，即其中三项分布1212123123121212312121212,,,,0()11,2,3,1,,,!(,)!!()!0,1,,,0,0,(,)iikknkknAAApPAipppXYnAAXYnPXkYkpppkknkkkknkkXY在重独