微积分基本知识[1]

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微积分基本知识第一章、极限与连续一、数列的极限1.数列定义:按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数1,,,nxx叫数列,记作nx,并吧每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念:一个数列nx,若0M,..st对*nN,都有nxM,则称nx是有界的:若不论M有多大,总*mN,..stmxM,则称nx是无界的若naxb,则a称为nx的下界,b称为nx的上界nx有界的充要条件:nx既有上界,又有下界2.数列极限的概念定义:设nx为一个数列,a为一个常数,若对0,总N,..st当nN时,有nxa则称a是数列nx的极限,记作limnnxa或()nxan数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的几何意义:从第1N项开始,nx的所有项全部落在点a的邻域(,)aa3.数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性:极限大小关系数列大小关系(nN时)二、函数的极限1.定义:两种情形①0xx:设()fx在点0x处的某去心邻域内有定义,A为常数,若对0,0,..st当00xx时,恒有()fxA成立,则称()fx在0xx时有极限A记作0lim()xxfxA或0()()fxAxx几何意义:对0,0,..st当00xx时,()fx介于两直线yA单侧极限:设()fx在点0x处的右侧某邻域内有定义,A为常数,若对0,0,..st当00xx时,恒有()fxA成立,称()fx在0x处有右极限A,记作0lim()xxfxA或0()fxA0lim()xxfxA的充要条件为:00()()fxfx=A垂直渐近线:当0lim()xxfx时,0xx为()fx在0x处的渐近线②x:设函数()fx在0xb上有定义,A为常数,若对0,,..Xbst当xX时,有()fxA成立,则称()fx在x时有极限A,记作lim()xfxA或()()fxAxlim()xfxA的充要条件为:lim()lim()xxfxfxA水平渐进线:若lim()xfxA或lim()xfxA,则yA是()fx的水平渐近线2.函数极限的性质:①唯一性②局部有界性③局部保号性(②③在当00xx时成立)三、极限的运算法则1.四则运算法则设()fx、()gx的极限存在,lim(),lim()fxAgxB则①lim()()fxgxAB②lim[()()]fxgxAB③()lim()fxAgxB(当0B时)④lim()cfxcA(c为常数)⑤lim[()]kkfxA(k为正整数)2.复合运算法则设[()]yfx,若0lim()xxxa,则0lim[()]()xxfxfa可以写成00lim[()][lim()]xxxxfxfx(换元法基础)四、极限存在准则及两个重要极限1.极限存在准则①夹逼准则设有三个数列nx,ny,nz,满足nnnyxz,limlimnnnnyza则limnnxa②单调有界准则有界数列必有极限3.重要极限①0sinlim1xxx②1lim1xxex或10lim1xxxe五、无穷大与无穷小1.无穷小:在自变量某个变化过程中lim()0fx,则称()fx为x在该变化过程中的无穷小※若()0fx,则()fx为x在所有变化过程中的无穷小若()fx,则()fx不是无穷小性质:1.有限个无穷小的代数和为无穷小2.常量与无穷小的乘积为无穷小3.有限个无穷小的乘积为无穷小4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理:lim()fxA的充要条件是()()fxAx,其中()x为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较:(趋于0的速度的大小比较)(),()xx,为同一变化过程中的无穷小若limc(0c常数)则是的同阶无穷小(当1c时为等价无穷小)若limkc(0c常数)则是的k阶无穷小若lim0则是的高阶无穷小常用等价无穷小:(0x)sintanarcsinarctanln(1)1xxxxxxxe;21cos2xx;(1)1xx;1lnxaxa2.无穷大:设函数()fx在0x的某去心邻域内有定义。若对于0M,0..st当00xx时,恒有()fxM称()fx当0xx时为无穷大,记作0lim()xxfx定理:lim()fx1lim()1lim()fxfx无穷大为无穷小无穷小为无穷大(下:趋于某点,去心邻域不为0)※无穷大的乘积为无穷大,其和、差、商不确定六、连续函数1.定义设函数()yfx在0x某邻域有定义,若对0,0..st当00xx时,恒有:0()()fxfx也可记作00lim()()xxfxfx或0lim0xy00()()fxfx(或00()()fxfx)为左(或右)连续2.函数的间断点第一类间断点:左右极限存在左右极限相等,该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点等3.连续函数的运算若函数()fx与()gx都在x处连续,则函数()()fxgx,()()fxgx,()()fxgx(()0gx)定理:[()]yfgx,00()gxu,若()gx在0x处连续,()fg在0u处连续,则[()]yfgx在0x处连续4.闭区间连续函数的性质①最值定理:()fx在[,]ab上连续,则12,xx,对一切[,]xab有12()()()fxfxfx②介值定理:()fx在[,]ab上连续,对于()fa与()fb之间的任何数u,至少一点,..st()fu第二章、导数一、导数的概念定义:设函数()yfx在点0x的某邻域有定义,如果极限000()()limxfxxfxx存在,则称函数()yfx在点0x可导,极限值为函数()yfx在点0x处的导数,记为'0()fx单侧导数:设函数()yfx在点0x处的左侧00(,]xx有定义,若极限000()()limxfxxfxx存在,则称此极限为函数()yfx在点0x处的左导数,记为'0()fx,类似有右导数'0()fx导函数:函数()yfx在某区间上可导,则'0()()()limxfxxfxfxx性质:①函数()yfx在点0x处可导的充要条件''00()()fxfx②可导连续导数的几何意义:函数点处的切线斜率二、求导法则1.函数的和、差、积、商的求导法则定理:若(),()uuxvvx都在x处可导,则函数()()uxvx在x处也可导,且'''[()()]()()uxvxuxvx定理:若(),()uuxvvx都在x处可导,则函数()()uxvx在x处也可导,且'''[()()]uxvxuvuv推论:若1,,nuu都在x处可导,则函数12nuuu在x处也可导,且''''12121212[]nnnnuuuuuuuuuuuu定理:若(),()uuxvvx都在x处可导,则函数()()uxvx在x处也可导,且'''2()()uxuvuvvxv2.反函数的求导法则定理:设函数()xgy在yI上单调可导,它的值域为xI,而'()0gy,则其反函数1()()ygxfx在区间xI上可导,并且有''1()()fxgx4.复合函数的求导法则定理:若函数()ux在0x可导,函数()yfu在点00()ux可导,则复合函数(())yfx在0x处可导'''[(())](())()fxfxx或dydydudxdudx(连锁规则)三、高阶导数定义:若函数()yfx的导数''()yfx仍可导,则''()yfx导数为()yfx的二阶导数,记作22,(),dyyfxdx,类似的,有n阶导数()(),(),nnnndyyfxdx四、隐函数求导对于[,()]0Fxyx,或[,()][,()]FxyxGxyx,若求dydx求导法:方程两侧对x求导微分法:方程两侧求微分公式法:''xyFdydxF,将方程化成[,]Fxy=0,将F看成关于x,y的二元函数,分别对x,y求偏导'',xyFF五、参数方程所确定的函数求导()()xtyt,''''()/()ttydydydtdydxtdxdtdxdtdttx导数公式基本函数:导数运算法则:'''()uvuv''()CuCu'''()uvuvuv'''2()uuvuvvv()()()()nnnuvuv()()()0()nnknkknkuvCuv高阶导数()()[()]()nnnCfaxbCafaxb()*(),(),0nmmnmnxAxnNmn若则()11!(1)nnnnxx()()lnxnxnaaa()1(1)!(log)(1)lnnnannxxa()(sin)sin()2nnxx()(cos)cos()2nnxx※1.1()()nnoxoxx2.'0000()()lim()xfxfxfxxx,需补充条件()fx在0x处可导或该极限存在'0C'1()xx'()lnxxaaa'1(log)lnaxxa'(sin)cosxx'(cos)sinxx'2(cot)cscxx'(sec)sectanxxx'(csc)csccotxxx'21(arcsin)1xx'21(arccos)1xx'21(arctan)1xx'21(arccot)1xx第三章、微分一、微分的概念定义:设函数()yfx在某区间I上有定义,00,xxxI,若00()()yfxxfx可表示为()yAxox(其中A与x无关),则称Ax为y在0x处的微分,记作dyAx※dyy与的区别:当y为自变量时,dyy当y为因变量时,dyy,()ydyox,dy为y的线性主部定理:对于一元函数()yfx,可导可微性质:一阶微分形式不变性,对于高阶微分()()()nnndyfxdx二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理条件结论Rolle①[,]ab上连续,②(,)ab上可导,③()()fafb'()0fLagrange①[,]ab上连续,②(,)ab上可导'()()()fbfafbaCauchy①[,]ab上连续,②(,)ab上可导,③'()0gx''()()()()()()fbfafgbgag①有限增量定理:'()yfxxx(01)②,LHospital法则:至少存在一点,使得00型未定式定值法:(),()fxgx在0x的某去心邻域有定义,且00lim()lim()0xxxxfxgx,(),()fxgx在0x的某去心邻域可导,且'()0gx0''()lim()xxfxAgx,则有00''()()limlim()()xxxxfxfxgxgx,0,1,,00,0类似四、函数的单调性与极值1.单调性:定理:设函数()yfx在[,]ab上连续,在(,)ab上可导,则导数符号原函数单调性'()0fx'()0fx2.极值定义:设函数()yfx在点0x某邻域有定义,若对该邻域内一切x都有0()()fxfx则0()fx是函数()fx的一个极大值,点0x为函数()fx的一个极大值点。(极小值类似)函数取得极值的一阶充分条件函数()yfx在点0x去心邻域可导,且在0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