微积分基本知识[1]

微积分基本知识第一章、极限与连续一、数列的极限1．数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数1,,,nxx叫数列，记作nx，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念：一个数列nx，若0M，..st对*nN，都有nxM，则称nx是有界的：若不论M有多大，总*mN，..stmxM，则称nx是无界的若naxb，则a称为nx的下界，b称为nx的上界nx有界的充要条件：nx既有上界，又有下界2．数列极限的概念定义：设nx为一个数列，a为一个常数，若对0，总N,..st当nN时，有nxa则称a是数列nx的极限，记作limnnxa或()nxan数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的几何意义：从第1N项开始，nx的所有项全部落在点a的邻域(,)aa3．数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系数列大小关系（nN时）二、函数的极限1.定义：两种情形①0xx：设()fx在点0x处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，0，..st当00xx时，恒有()fxA成立，则称()fx在0xx时有极限A记作0lim()xxfxA或0()()fxAxx几何意义：对0，0，..st当00xx时，()fx介于两直线yA单侧极限：设()fx在点0x处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对0，0，..st当00xx时，恒有()fxA成立，称()fx在0x处有右极限A，记作0lim()xxfxA或0()fxA0lim()xxfxA的充要条件为：00()()fxfx=A垂直渐近线：当0lim()xxfx时，0xx为()fx在0x处的渐近线②x：设函数()fx在0xb上有定义，A为常数，若对0，,..Xbst当xX时，有()fxA成立，则称()fx在x时有极限A，记作lim()xfxA或()()fxAxlim()xfxA的充要条件为：lim()lim()xxfxfxA水平渐进线：若lim()xfxA或lim()xfxA，则yA是()fx的水平渐近线2.函数极限的性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性（②③在当00xx时成立）三、极限的运算法则1．四则运算法则设()fx、()gx的极限存在，lim(),lim()fxAgxB则①lim()()fxgxAB②lim[()()]fxgxAB③()lim()fxAgxB（当0B时）④lim()cfxcA（c为常数）⑤lim[()]kkfxA（k为正整数）2．复合运算法则设[()]yfx，若0lim()xxxa，则0lim[()]()xxfxfa可以写成00lim[()][lim()]xxxxfxfx（换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限1．极限存在准则①夹逼准则设有三个数列nx，ny，nz，满足nnnyxz，limlimnnnnyza则limnnxa②单调有界准则有界数列必有极限3．重要极限①0sinlim1xxx②1lim1xxex或10lim1xxxe五、无穷大与无穷小1．无穷小：在自变量某个变化过程中lim()0fx，则称()fx为x在该变化过程中的无穷小※若()0fx，则()fx为x在所有变化过程中的无穷小若()fx，则()fx不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2.常量与无穷小的乘积为无穷小3.有限个无穷小的乘积为无穷小4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim()fxA的充要条件是()()fxAx，其中()x为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(),()xx，为同一变化过程中的无穷小若limc（0c常数）则是的同阶无穷小（当1c时为等价无穷小）若limkc（0c常数）则是的k阶无穷小若lim0则是的高阶无穷小常用等价无穷小：(0x)sintanarcsinarctanln(1)1xxxxxxxe；21cos2xx；(1)1xx；1lnxaxa2．无穷大：设函数()fx在0x的某去心邻域内有定义。若对于0M，0..st当00xx时，恒有()fxM称()fx当0xx时为无穷大，记作0lim()xxfx定理：lim()fx1lim()1lim()fxfx无穷大为无穷小无穷小为无穷大（下：趋于某点，去心邻域不为0）※无穷大的乘积为无穷大，其和、差、商不确定六、连续函数1．定义设函数()yfx在0x某邻域有定义，若对0，0..st当00xx时，恒有：0()()fxfx也可记作00lim()()xxfxfx或0lim0xy00()()fxfx（或00()()fxfx）为左（或右）连续2．函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3.连续函数的运算若函数()fx与()gx都在x处连续，则函数()()fxgx，()()fxgx，()()fxgx（()0gx）定理：[()]yfgx，00()gxu，若()gx在0x处连续，()fg在0u处连续，则[()]yfgx在0x处连续4．闭区间连续函数的性质①最值定理：()fx在[,]ab上连续，则12,xx，对一切[,]xab有12()()()fxfxfx②介值定理：()fx在[,]ab上连续，对于()fa与()fb之间的任何数u，至少一点，..st()fu第二章、导数一、导数的概念定义：设函数()yfx在点0x的某邻域有定义，如果极限000()()limxfxxfxx存在，则称函数()yfx在点0x可导，极限值为函数()yfx在点0x处的导数，记为'0()fx单侧导数：设函数()yfx在点0x处的左侧00(,]xx有定义，若极限000()()limxfxxfxx存在，则称此极限为函数()yfx在点0x处的左导数，记为'0()fx，类似有右导数'0()fx导函数：函数()yfx在某区间上可导，则'0()()()limxfxxfxfxx性质：①函数()yfx在点0x处可导的充要条件''00()()fxfx②可导连续导数的几何意义：函数点处的切线斜率二、求导法则1．函数的和、差、积、商的求导法则定理：若(),()uuxvvx都在x处可导，则函数()()uxvx在x处也可导，且'''[()()]()()uxvxuxvx定理：若(),()uuxvvx都在x处可导，则函数()()uxvx在x处也可导，且'''[()()]uxvxuvuv推论：若1,,nuu都在x处可导，则函数12nuuu在x处也可导，且''''12121212[]nnnnuuuuuuuuuuuu定理：若(),()uuxvvx都在x处可导，则函数()()uxvx在x处也可导，且'''2()()uxuvuvvxv2．反函数的求导法则定理：设函数()xgy在yI上单调可导，它的值域为xI，而'()0gy，则其反函数1()()ygxfx在区间xI上可导，并且有''1()()fxgx4．复合函数的求导法则定理：若函数()ux在0x可导，函数()yfu在点00()ux可导，则复合函数(())yfx在0x处可导'''[(())](())()fxfxx或dydydudxdudx（连锁规则）三、高阶导数定义：若函数()yfx的导数''()yfx仍可导，则''()yfx导数为()yfx的二阶导数，记作22,(),dyyfxdx，类似的，有n阶导数()(),(),nnnndyyfxdx四、隐函数求导对于[,()]0Fxyx,或[,()][,()]FxyxGxyx，若求dydx求导法：方程两侧对x求导微分法：方程两侧求微分公式法：''xyFdydxF，将方程化成[,]Fxy=0，将F看成关于x,y的二元函数，分别对x,y求偏导'',xyFF五、参数方程所确定的函数求导()()xtyt，''''()/()ttydydydtdydxtdxdtdxdtdttx导数公式基本函数：导数运算法则:'''()uvuv''()CuCu'''()uvuvuv'''2()uuvuvvv()()()()nnnuvuv()()()0()nnknkknkuvCuv高阶导数()()[()]()nnnCfaxbCafaxb()*(),(),0nmmnmnxAxnNmn若则()11!(1)nnnnxx()()lnxnxnaaa()1(1)!(log)(1)lnnnannxxa()(sin)sin()2nnxx()(cos)cos()2nnxx※1.1()()nnoxoxx2.'0000()()lim()xfxfxfxxx，需补充条件()fx在0x处可导或该极限存在'0C'1()xx'()lnxxaaa'1(log)lnaxxa'(sin)cosxx'(cos)sinxx'2(cot)cscxx'(sec)sectanxxx'(csc)csccotxxx'21(arcsin)1xx'21(arccos)1xx'21(arctan)1xx'21(arccot)1xx第三章、微分一、微分的概念定义：设函数()yfx在某区间I上有定义，00,xxxI，若00()()yfxxfx可表示为()yAxox（其中A与x无关），则称Ax为y在0x处的微分，记作dyAx※dyy与的区别：当y为自变量时，dyy当y为因变量时，dyy，()ydyox，dy为y的线性主部定理：对于一元函数()yfx，可导可微性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分()()()nnndyfxdx二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理条件结论Rolle①[,]ab上连续,②(,)ab上可导,③()()fafb'()0fLagrange①[,]ab上连续,②(,)ab上可导'()()()fbfafbaCauchy①[,]ab上连续,②(,)ab上可导，③'()0gx''()()()()()()fbfafgbgag①有限增量定理：'()yfxxx(01)②,LHospital法则：至少存在一点，使得00型未定式定值法：(),()fxgx在0x的某去心邻域有定义，且00lim()lim()0xxxxfxgx，(),()fxgx在0x的某去心邻域可导，且'()0gx0''()lim()xxfxAgx，则有00''()()limlim()()xxxxfxfxgxgx，0，1，，00，0类似四、函数的单调性与极值1.单调性：定理：设函数()yfx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，则导数符号原函数单调性'()0fx'()0fx2.极值定义：设函数()yfx在点0x某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有0()()fxfx则0()fx是函数()fx的一个极大值，点0x为函数()fx的一个极大值点。（极小值类似）函数取得极值的一阶充分条件函数()yfx在点0x去心邻域可导，且在0