高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

1/72空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘；2．了解空间向量的基本定理；3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离2/72的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2．向量运算和运算率baABOAOBbaOBOABA)(RaOP加法交换率：.abba加法结合率：).()(cbacba数乘分配率：.)(baba说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数使b＝a（1）对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为|a|，当0时与a同向，当0时与a反向的所有向量。（3）若直线l∥a，lA，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OAOPat①其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取aAB，则①式可化为.)1(OBtOAtOP②当21t时，点P是线段AB的中点，则).(21OBOAOP③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推BCOA3/72论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在平面内，我们就说向量a平行于平面，记作a∥。注意：向量a∥与直线a∥的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使.byaxp①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使,MByMAxMP④或对空间任一定点O，有.MByMAxOMOP⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵.,OMOAMA.,OMOBMB代入⑤，整理得.)1(OByOAxOMyxOP⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使.czbyaxp说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是Rzyxczbyaxpp、、,|，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组zyx、、，使.OCzOByOAxOP6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作aOA，bOB，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作ba，说明：⑴规定0≤ba，≤,因而ba，=ab，；⑵如果ba，=2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中∠AOB=OBOA,，图（2）中∠AOB=OBAO,,从而有OBOA,=OBOA,=OBOA,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：baba,cos叫做向量a、b的数量积，记作ba。即ba=baba,cos，ABO（2）ABO（1）ABl4/72向量AB方向上的正射影在e:BAeaABea,cos||（4）性质与运算率⑴eaea,cos。⑴()()abab⑵a⊥bba=0⑵ba=ba⑶2||.aaa⑶()abcabac（三）．典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1、有以下命题：①如果向量,ab与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,ab的关系是不共线；②,,,OABC为空间四点，且向量,,OAOBOC不构成空间的一个基底，那么点,,,OABC一定共面；③已知向量,,abc是空间的一个基底，则向量,,ababc，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）。()A①②()B①③()C②③()D①②③解析：对于①“如果向量,ab与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,ab的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。题型2：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）()A1122abc()B1122abc()C1122abc()Dcba2121解析：显然111)(21AAABADMBBBBM1122abc；答案为A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。例3、已知：,28)1(,0423pynmxbpnma且pnm,,不共面.若a∥b,求yx,的值.解：a∥b,,且,,0aba即.42328)1(pnmpynmx又pnm,,不共面,.8,13,422831yxyx点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明：记则∴,∴共面.∵B1平面C1BD,AB1//平面C1BD.（四）强化巩固导练1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.解：易求得,,,1cAAbACaABcbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,11111ABcaDCDB11,,DCDBAB1AAyABxADAF0,21yxyxMC1CB1D1A1ABD5/722、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是(A)。A．a＋b＋cB．a＋b＋cC．ab＋cD．ab＋c3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大是。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4B组中3课外练习：课本P39页A组中8；B组中3；复资P130页变式训练中1、2、3、5、6五、教学反思：1111DCBAABCD11BA11DAAA1MB12121212121212121111ABCABCM1CC1ABBM和},,{1BCBBBA11121,BBBCBMBABBAB05220220