2017年黄浦区高考数学二模试卷含答案

（第11题图）2017年黄浦区高考数学二模试卷含答案2017年4月（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．函数22yxx的定义域是．2．若关于,xy的方程组10420axyxay，有无数多组解，则实数a_________．3．若“2230xx”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为．4．已知复数134iz，2izt(其中i为虚数单位)，且12zz是实数，则实数t等于．5．若函数3(0),()1(0)xxaxfxax(a0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是．6．设变量,xy满足约束条件212xyxyy，，，则目标函数2zxy的最小值为．7.已知圆22:(4)(3)4Cxy和两点(,0),(,0)(0)AmBmm，若圆C上至少存在一点P，使得90APB，则m的取值范围是．8.已知向量π(cos(),1)3a，(1,4)b，如果a∥b，那么πcos(2)3的值为．9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．若将函数()fxπ|sin()|(0)8x的图像向左平移π12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是．11．三棱锥PABC满足：ABAC，ABAP，2AB，4APAC，则该三棱锥的体积V的取值范围是．12．对于数列{}na，若存在正整数T，对于任意正整数n都有nTnaa成立，则称数列{}na是以T为周期的周期数列．设1(01)bmm，对任意正整数n都有111)1(01)(nnnnnbbbbb，，若数列{}nb是以5为周期的周期数列，则m的值可以是．(只要求填写满足条件的一个m值即可)二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．下列函数中，周期为π，且在ππ[]42，上为减函数的是（）A．y=sin(2x+π)2B．y=cos(2x+π)2C．y=sin(x+π)2D．y=cos(x+π)214．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π15．已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．20xyB．20xyC．430xyD．340xy16．如图所示，2π3BAC，圆M与,ABAC分别相切于点,DE，AD1，点P是圆M及其内部任意一点，且APxADyAE(,)xyR，则xy的取值范围是（）A．[1,423]B．[423,423]C．[1,23]D．[23,23]三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直棱柱111ABCABC中，12AAABAC，ABAC，DEF,,分别是111,,ABCCBC的中点．（1）求证：AEDF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且cos,cos,cosbCaAcB成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若32a，6bc，求ABAC+的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如果一条信息有n1,)nnN（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,nppp，则称H12()()()nfpfpfp（其中()fxlog,axx(0,1)x）为该条信息的信息熵．已知11()22f．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为12,,,nAAA）参加，若当1,2,k,1n时，选手kA获得冠军的概率为2k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆M:22221(0)xyabab的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点11(,)22P，且APPO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为12,kk的直线交椭圆M于,DE两点，且121kk，求证：直线DE恒过一个定点．xy21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若函数()fx满足:对于任意正数,st，都有()0,()0fsft，且()()()fsftfst，则称函数()fx为“L函数”．（1）试判断函数21()fxx与122()fxx是否是“L函数”；（2）若函数()31(31)xxgxa为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数()fx为“L函数”，且(1)1f，求证：对任意1(2,2)(*)Nkkxk，都有1()()fxfx22xx．高三数学参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1.[02]，；2.2；3.1；4.34；5.2[1)3，；6.4；7.[37]，；8.78；9.37；10.32；11.4(0,]3；12.52（或312，或31）．二、选择题：（每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题：（共76分）17．解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、1AA为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(1,1,0)ADEF，故(2,0,1),(1,0,2)AEDF，…………………4分由2(1)1(2)0AEDF，可知AEDF，即AEDF．…………………6分（2）设(,,1)nxy是平面DEF的一个法向量，又(1,0,2)(1,1,1)DFEF，，故由20,10,nDFxnEFxy解得2,3,xy故(2,3,1)n．…………9分设AE与平面DEF所成角为，则||570sin14||||145nAEnAE，…………12分xyzO所以AE与平面DEF所成角为70arcsin14，点A到平面DEF的距离为5sin1414AE．…………………14分18．解：（1）由cos,cos,cosbCaAcB成等差数列，可得coscos2cosbCcBaA+，…………………2分故sincossincos2sincosBCCBAA+，所以sin()2sincosBCAA+，………4分又ABC，所以sin()sinBCA，故sin2sincosAAA，又由(0,π)A，可知sin0A，故1cos2A，所以π3A．…………………6分（另法：利用coscosbCcBa+求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得2222cos(32)3bcbc，…………………8分即2218bcbc，故2()318bcbc，又6bc，故6bc，………………10分所以2222()2ABACABACABACABAC++22||||2||||cosABACABACA…………………12分22cbbc2()30bcbc，故30ABAC+．…………………14分19．解：（1）由11()22f，可得111log222a，解之得2a.…………………2分由32种情形等可能，故1(1,2,,32)32kPk，……………………4分所以21132(log)53232H，答：“谁被选中”的信息熵为5．……………………6分（2）nA获得冠军的概率为111111111+)1(1)24222nnn(，……………8分当1,2,k,1n时，2()2log22kkkkkfp，又11()2nnnfp，故111231124822nnnnH，……………………11分1112211+248222nnnnnnH，以上两式相减，可得11111111+1224822nnH，故422nH，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n．……………………14分20．解：（1）由APOP，可知1APOPkk，又A点坐标为(,0),a故1122111+22a，可得1a，……………………………2分因为椭圆M过P点，故211+144b，可得213b，所以椭圆M的方程为22113yx．……………………………4分（2）AP的方程为01110122yx，即10xy，由于Q是椭圆M上的点，故可设3(cos,sin)3Q，……………………………6分所以3cossin1312222APQS……………………………8分123cos()1436当2()6kkZ，即2()6kkZ时，APQS取最大值．故APQS的最大值为3164+．……………………………10分法二：由图形可知，若APQS取得最大值，则椭圆在点Q处的切线l必平行于AP，且在直线AP的下方．…………………………6分设l方程为(0)yxtt，代入椭圆M方程可得2246310xtxt，由0，可得233t，又0t，故233t．…………………………8分所以APQS的最大值12|1|3122642+t．……………………………10分（3）直线AD方程为1(1)ykx，代入2231xy，可得2222111(31)6310kxkxk，21213131ADkxxk，又1Ax，故21211313Dkxk，21112211132(1)1313Dkkykkk，………………12分同理可得22221313Ekxk，222213Ekyk，又121kk且12kk，可得211kk且11k，所以212133Ekxk，12123Ekyk，112211122211122112231323133(1)313EDDEEDkkyykkkkxxkkkkk，直线DE的方程为21112221112213()133(1)13kkkyxkkk，………………14分令0y，可得22112211133(1)21313kkxkk．故直线DE过定点(2,0)．………………16分（法二）若DE垂直于y轴，则,EDEDxxyy，此时221222111133DEDDDEDDyyyykkxxxy与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为+xtys，将其代入2231xy，可得222(3)210tytsys，可得22221,33DEDEtssyyyytt，………12分又12111(1)(1)DEDEDEDEyyyykkxxtystys，可得22(1)(1)()(1)0DEDEtyytsyys，………………14分故2222212(1)(1)(1)033ststtss