相似三角形难题拓展补充

优优优优秀秀秀秀是是是是一一一一种种种种习习习习惯惯惯惯，，，，努努努努力力力力成成成成为为为为最最最最棒棒棒棒的的的的自自自自己己己己第第第第页页页页王王王王紫紫紫紫老老老老师师师师联联联联系系系系电电电电话话话话:138189725541几何系列专题几何系列专题几何系列专题几何系列专题相似相似相似相似三角形三角形三角形三角形((((补充题补充题补充题补充题))))【【【【课堂例题课堂例题课堂例题课堂例题】】】】【【【【例例例例1】】】】（（（（第第第第11届届届届“希望杯希望杯希望杯希望杯”））））如图如图如图如图，，，，在在在在ABC∆中中中中，，，，2AC=，，，，4BC=，，，，60ACB∠=°，，，，将将将将ABC∆折叠折叠折叠折叠，，，，使点使点使点使点B和点和点和点和点C重合重合重合重合，，，，折痕为折痕为折痕为折痕为DE，，，，则则则则AEC∆的面积为的面积为的面积为的面积为。。。。【【【【简易简易简易简易答案答案答案答案】】】】解解解解：：：：作作作作BC边上的高边上的高边上的高边上的高AF，，，，由已知得由已知得由已知得由已知得1321FCAFBDDF====，，，∵∵∵∵BED∆∽∽∽∽BAF∆，，，，∴∴∴∴EDBDAFBF=，，，，233ED=，，，，∴∴∴∴233ED=，，，，1232ABCSBCAF∆==i，，，，14323EBCSBCED∆==i，，，，∴∴∴∴233AECABCEBCSSS∆∆∆=−=。。。。优优优优秀秀秀秀是是是是一一一一种种种种习习习习惯惯惯惯，，，，努努努努力力力力成成成成为为为为最最最最棒棒棒棒的的的的自自自自己己己己第第第第页页页页王王王王紫紫紫紫老老老老师师师师联联联联系系系系电电电电话话话话:138189725542【【【【例例例例2】】】】（（（（武汉市初三竞赛武汉市初三竞赛武汉市初三竞赛武汉市初三竞赛））））已知已知已知已知ABC∆中中中中，，，，BCAC，，，，CH是是是是AB边上的高边上的高边上的高边上的高，，，，且满足且满足且满足且满足22ACAHBCBH=，，，，证明证明证明证明：：：：90AB∠+∠=°或或或或90AB∠−∠=°。。。。【【【【简易简易简易简易答案答案答案答案】】】】证证证证明明明明：（：（：（：（1））））如图如图如图如图，，，，若垂足若垂足若垂足若垂足H在线段在线段在线段在线段AB上上上上，，，，由由由由222AHCHAC+=和和和和222BHCHBC+=，，，，得得得得2222BHAHBCAC−=−，，，，∴∴∴∴()()22BHAHBHAHBCAC+−=−，，，，即即即即22BCACABBHAH−=−①①①①又由又由又由又由22ACAHBCBH=，，，，得得得得222BCACBHAHBCBH−−=，，，，即即即即222BCACBCBHAHBH−=−②②②②又由又由又由又由①①①①、、、、②②②②，，，，得得得得2BCABBH=，，，，即即即即ABBCBCBH=，，，，又由又由又由又由B∠是是是是ABC∆和和和和CBH∆的公共角的公共角的公共角的公共角，，，，所以所以所以所以ABC∆∽∽∽∽CBH∆，，，，∴∴∴∴90ACBCHB∠=∠=°，，，，90AB∠+∠=°。。。。（（（（2））））若垂足若垂足若垂足若垂足H在在在在BA的延长线上的延长线上的延长线上的延长线上，，，，如图如图如图如图，，，，作边作边作边作边CA关于关于关于关于CH的对称线段的对称线段的对称线段的对称线段'CA，，，，由由由由（（（（1））））的结论知的结论知的结论知的结论知'90AB∠+∠=°，，，，而而而而'180AA∠=°−∠，，，，代入上式代入上式代入上式代入上式，，，，得得得得90AB∠−∠=°。。。。综合综合综合综合（（（（1）、（）、（）、（）、（2））））有有有有90AB∠+∠=°或或或或90AB∠−∠=°。。。。优优优优秀秀秀秀是是是是一一一一种种种种习习习习惯惯惯惯，，，，努努努努力力力力成成成成为为为为最最最最棒棒棒棒的的的的自自自自己己己己第第第第页页页页王王王王紫紫紫紫老老老老师师师师联联联联系系系系电电电电话话话话:138189725543【【【【例例例例3】】】】如图如图如图如图，，，，在锐角在锐角在锐角在锐角ABC∆中中中中，，，，BD是是是是AC边上的高边上的高边上的高边上的高，，，，E是是是是AB上一点上一点上一点上一点，，，，满足满足满足满足45AEC∠=°，，，，2BDCE=，，，，CEACAD=+。。。。求证求证求证求证：：：：//DEBC。。。。【【【【简易简易简易简易答案答案答案答案】】】】证明证明证明证明：：：：设设设设ADxCEa==，（（（（0xa），），），），则则则则2BDa=。。。。在在在在RtABD∆中中中中，，，，224ABax=+，，，，过过过过C作作作作CFAB⊥于于于于F，，，，由由由由ABC∆是锐角三角形知是锐角三角形知是锐角三角形知是锐角三角形知ACE∆也是锐角三也是锐角三也是锐角三也是锐角三角形角形角形角形，，，，F必在必在必在必在AE，之间之间之间之间，，，，则则则则AEAFFE=+，，，，且且且且22CFFEa==。。。。易证易证易证易证RtACF∆∽∽∽∽RtABD∆，，，，得得得得24AFACCFADABBD===，，，，故故故故2244AFADx==，，，，∴∴∴∴2222444ACABax==+i。。。。而而而而CEACAD=+，，，，则则则则ACCEADax=−=−，，，，∴∴∴∴22244axax+=−i，，，，即即即即2271640xaxa−+=，，，，因因因因xa，，，，故故故故27xa=，，，，这时这时这时这时22414AFxa==，，，，427AEAFFEa=+=，，，，24ADAE=，，，，此时此时此时此时ADACAEAB=，，，，//DEBC。。。。优优优优秀秀秀秀是是是是一一一一种种种种习习习习惯惯惯惯，，，，努努努努力力力力成成成成为为为为最最最最棒棒棒棒的的的的自自自自己己己己第第第第页页页页王王王王紫紫紫紫老老老老师师师师联联联联系系系系电电电电话话话话:138189725544【【【【例例例例4】】】】如图如图如图如图，，，，在梯形在梯形在梯形在梯形ABCD中中中中，，，，//ABCD，，，，125AB=，，，，80CDDA==。。。。问对角线问对角线问对角线问对角线BD能否把梯形能否把梯形能否把梯形能否把梯形分成两个相似的三角形分成两个相似的三角形分成两个相似的三角形分成两个相似的三角形？？？？若能若能若能若能，，，，求出求出求出求出BCBD，的长的长的长的长。。。。【【【【简易简易简易简易答案答案答案答案】】】】解解解解：：：：首先设对角线首先设对角线首先设对角线首先设对角线BD把梯形分成的两个三角形相似把梯形分成的两个三角形相似把梯形分成的两个三角形相似把梯形分成的两个三角形相似。。。。（（（（1））））若若若若AD与与与与DC是对应边是对应边是对应边是对应边，，，，∵∵∵∵80ADDC==，，，，∴∴∴∴相似比为相似比为相似比为相似比为1，，，，则这两个三角形相似则这两个三角形相似则这两个三角形相似则这两个三角形相似，，，，其对应角其对应角其对应角其对应角ABDDBC∠=∠，，，，但由但由但由但由//ABCD知道知道知道知道，，，，ABDBDC∠=∠，，，，故故故故CBDCDB∠=∠，，，，CDB∆是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形，，，，从从从从而而而而ABD∆也使等腰三角形也使等腰三角形也使等腰三角形也使等腰三角形，，，，BD或为或为或为或为80或为或为或为或为125，，，，这两种情况下均与两三角形全等相矛盾这两种情况下均与两三角形全等相矛盾这两种情况下均与两三角形全等相矛盾这两种情况下均与两三角形全等相矛盾，，，，故故故故AD与与与与DC不能成对应边不能成对应边不能成对应边不能成对应边。。。。（（（（2））））若若若若AD与与与与BD是对应边是对应边是对应边是对应边，，，，则则则则ABDBCD∠=∠，，，，但但但但ABDBDC∠=∠，，，，故故故故BCDBDC∠=∠，，，，CDB∆是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形，，，，从而从而从而从而ABD∆也使等腰三角形也使等腰三角形也使等腰三角形也使等腰三角形，，，，BD或为或为或为或为80或为或为或为或为125，，，，若若若若80BD=，，，，则则则则BCD∆为正三角形为正三角形为正三角形为正三角形，，，，不可能与不可能与不可能与不可能与ABD∆相似相似相似相似；；；；若若若若125BD=，，，，则则则则125BC=，，，，与与与与ADBD，成成成成对应边矛盾对应边矛盾对应边矛盾对应边矛盾。。。。（（（（3））））若若若若AD与与与与BC成对应边成对应边成对应边成对应边，，，，则只有则只有则只有则只有BCCDBDADBDAB==，，，，即即即即8080125BCBDBD==，，，，解得解得解得解得80125100BD=×=，，，，28064BCBD==。。。。综上所述综上所述综上所述综上所述，，，，对角线对角线对角线对角线BD可以把梯形分成两个相似三角形可以把梯形分成两个相似三角形可以把梯形分成两个相似三角形可以把梯形分成两个相似三角形，，，，此时有惟一解此时有惟一解此时有惟一解此时有惟一解64100BCBD==，。。。。优优优优秀秀秀秀是是是是一一一一种种种种习习习习惯惯惯惯，，，，努努努努力力力力成成成成为为为为最最最最棒棒棒棒的的的的自自自自己己己己第第第第页页页页王王王王紫紫紫紫老老老老师师师师联联联联系系系系电电电电话话话话:138189725545【【【【例例例例5】】】】如图如图如图如图，，，，在锐角在锐角在锐角在锐角ABC∆中中中中，，，，PQRS是是是是ABC∆的内接矩形的内接矩形的内接矩形的内接矩形，，，，且且且且ABCPQRSSnS∆=矩形，，，，其中其中其中其中n为不小于为不小于为不小于为不小于3的自然数的自然数的自然数的自然数，，，，求证求证求证求证：：：：BSAB为无理数为无理数为无理数为无理数。。。。【【【【简易简易简易简易答案答案答案答案】】】】证明证明证明证明：：：：设设设设BCa=，，，，BC边上的高边上的高边上的高边上的高ADh=，，，，PSx=，，，，RSy=，，，，由由由由ASR∆∽∽∽∽ABC∆，，，，得得得得hxyah−=。。。。∵∵∵∵ABCPQRSSnS∆=矩形，，，，∴∴∴∴12hxahnxynxah−==，，，，整理得整理得整理得整理得22220nxnxhh−+=，，，，∴∴∴∴211222xnnhn=+−。。。。∵∵∵∵()()222221nnnn−−−，，，，∴∴∴∴22nn−不是完全平方数不是完全平方数不是完全平方数不是完全平方数，，，，即即即即22nn−为无理数为无理数为无理数为无理数，，，，从而从而从而从而xh为无理数为无理数为无理数为无理数，，，，于是于是于是于是BSxBAh=为无理为无理为无理为无理数数数数。。。。优优优优秀秀秀秀是是是是一一一一种种种种习习习习惯惯惯惯，，，，努努努努力力力力成成成成为为为为最最最最棒棒棒棒的的的的自自自自己己己己第第第第页页页页王王王王紫紫紫紫老老老老师师师师联联联联系系系系电电电电话话话话:138189725546【【【【例例例例6】】】】如图如图如图如图，，，，正方形正方形正方形正方形ABCD中中中中，，，，M为为为为AD中点中点中点中点，，，，以以以以M为顶点作为顶点作为顶点作为顶点作BMNMBCMN∠=∠，交交交交CD于于于于N，，，，求证求证求证求证：：：：2DNNC=。。。。【【【【简易简易简易简易答案答案答案答案】】】】证明证明证明证明：：：：延长延长延长延长MNBC，交于交于交于交于E，，，，连结连结连结连结MC，，，，设设设设2ABa=，，，，则则则则5MBa=，，，，由由由由ABM∆≌≌≌≌DCM∆，，，，得