泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)

实变函数与泛函分析第四章习题01-157第五章习题第一部分01-151.M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间．[证明]显然span(M)是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且MN．则由span(M)的定义，可直接验证span(M)N．所以span(M)是包含M的最小线性子空间．2.设B为线性空间X的子集，证明conv(B)={niiixa1|ai0,niia1=1,xiB,n为自然数}．[证明]设A={niiixa1|ai0,niia1=1,xiB,n为自然数}．首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有AF，故A为包含B的最小凸集．3.证明[a,b]上的多项式全体P[a,b]是无限维线性空间，而E={1,t,t2,...,tn,...}是它的一个基底．[证明]首先可以直接证明P[a,b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P[a,b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示．设c0,c1,c2,...,cm是m+1个实数，其中cm0，m1．若mnnntc0=0，由代数学基本定理知c0=c1=c2=...=cm=0，所以E中任意有限个元素线性无关，故P[a,b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。4.在2中对任意的x=(x1,x2)2，定义||x||1=|x1|+|x2|，||x||2=(x12+x22)1/2，||x||=max{|x1|,|x2|}．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明]证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5.设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间．[证明]x,ycl(L)，a，存在L中的序列{xn},{yn}使得xnx，yny．从而x+y=limxn+limyn=lim(xn+yn)cl(L)，ax=alimxn=lim(axn)cl(L)．所以cl(L)是X的线性子空间．[注]这里cl(L)表示子集L的闭包．6.设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0M．证明：L={ax0+y|yM,a}也是X的闭线性子空间．[证明]若a,b，y,zM使得ax0+y=bx0+z，则(ab)x0=zyM，得到a=b，y=z；即L中元素的表示是唯一的．若L中的序列{anx0+yn}收敛于X中某点z，则序列{anx0+yn}为有界序列．由于M闭，x0M，故存在r0，使得||x0y||r，yM．则当an0时有实变函数与泛函分析第四章习题01-158|an|=|an|·r·(1/r)|an|·||x0+yn/an||·(1/r)=||anx0+yn||·(1/r)，所以数列{an}有界，故存在{an}的子列{an(k)}使得an(k)a．这时yn(k)=(anx0+yn)anx0zax0M．所以zL，所以L闭．[注]在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件．7.证明：a.在2中，||◦||1，||◦||2与||◦||都是等价范数；b.||◦||1与||◦||2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．[证明]a.显然||x||||x||2||x||12||x||，所以||◦||1，||◦||2与||◦||都是等价范数．b.必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf{||x||2|||x||1=1}0．若inf{||x||2|||x||1=1}=0，则存在X中序列{xn}，使得||xn||1=1，||xn||20．而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而||xn||10．这矛盾说明inf{||x||2|||x||1=1}=a0．对xX，当x0时，||(x/||x||1)||1=1，所以||(x/||x||1)||2a．故xX有a||x||1||x||2．类似地可以证明存在b0使得b||x||2||x||1，xX．所以两个范数等价．8.证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187,例3.5]9.证明：c是可分的Banach空间．[证明见第4章习题16]10.设X,Y为线性赋范空间，TB(X,Y)．证明T的零空间N(T)={xX|Tx=0}是X的闭线性子空间．[证明]显然N(T)={xX|Tx=0}是X的线性子空间．对xN(T)c，Tx0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得uU有Tu0，从而UN(T)c．故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间．11.设无穷矩阵(aij)，(i,j=1,2,...)满足1||supjijia，定义算子T:mm如下：y=Tx，1jjijia，其中x=(i),y=(i)m．证明：T是有界线性算子，并且1||sup||||jijiaT。[证明]因|)|(sup)||sup()||sup||(sup||sup||||111jjjijijjjijijjijiaaaTx，及T是线性的，所以T为有界线性算子，1||sup||||jijiaT。对任意的实数1||supjijiau，存在自然数K使得uajKj1||。取mxiK)(，使得其第j个坐标)sgn(Kjja，则1||||Kx，且1||||||jKjKaTx。所以uaTjKj1||||||，故有1||sup||||jijiaT，从而1||sup||||jijiaT。实变函数与泛函分析第四章习题01-15912.设22:llSn满足对221),,,,(lxn有),,()(21nnnxS。证明nS是有界线性算子，1||||nS。[证明]显然nS是线性算子。因为212122||||||||||)(||xxSkknkkn，2lx，所以||||||)(||xxSn，2lx，可见nS是有界线性算子，且1||||nS。令),0,1,0,0,0(nx（仅第)1(n个坐标不为零），则2lxn，1||||nx，),0,1()(nnxS，1||)(||nnxS。所以1||)(||||)(||sup||||1||||nnnxnxSxSS。13.证明],[baC上的泛函badttxxf)()(是有界线性泛函，且abf||||。[证明]显然f是线性泛函。对],[baCx有||||)(|)(|max)(|)(||)(||)(|],[xabtxabdttxdttxxfbatbaba，所以f是有界线性泛函，且abf||||。进一步，取],[0baCx使得1)(0tx，则1||||0x。得到abxfxffx|)(||)(|sup||||01||||。14.取定],[0bat，在],[baC上定义泛函1f如下：)()(01txxf。证明1f是有界线性泛函，1||||1f。[证明]显然1f是线性泛函，由|||||)(|max|)(||)(|],[01xtxtxxfbat，知1f有界1||||1f。取],[0baCx使1)(0tx，则1||||0x，得1|)(||)(||)(|sup||||000111||||1txxfxffx。15.证明：ll*1)(。[证明]任取lyi)(，显然1)(iiixf是1l上有界线性泛函，且||||||||yf。又取1lxk使其第k个坐标为1其余皆为0，则|||)(|||||kkxff，,2,1k。从而||||||||yf，进而||||||||yf．另一方面，设f为1l上有界线性泛函，令)(iixf，则||||||||||||||fxfii，,2,1i，从而lyi)(。对1)(lxi，我们令),0,0,,,,(21nnu，则niiiniiiniiinxfxfuf111)()()(．注意到在1l中xun，以及f为1l上有界线性泛函，故1)(iiixf，并且满足这样条件的lyi)(是唯一的．16.证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。[证明]设X是n维线性赋范空间，{x1,x1,...,xn}是它的一个基．令fi:XX表示inkkkiaxaf)(1，i=1,2,...．实变函数与泛函分析第四章习题01-1510则nkikiiiiinkkkixaxxxaaxaf11||||||||1|||||||||||)(|，注意到nkikxaxN1||||)(也是X上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M0使得||||)(xMxN，所以|||||||||)(|xxMxfii，所以fiX*．下面证明{f1,f1,...,fn}是X*的一组基。事实上，fX*，nknjjjnkkknknjjjkkkknkkkxafxfxafxfxfaxaf111111))()(()()()()(，所以nkkkfxff1)(。故X*为有限维空间，且维数不超过n．若01nkkkfc，则0))(()(11inkkknkikkixfcxfcc，所以{f1,f1,...,fn}线性无关，故X*维数为n。17.证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。[证明]设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J:XX**是保范的线性同构，故X**必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X*必然也是无穷维的．18.设X是赋范空间，M为X的子集，xX。证明：xcl(span(M))的充分必要条件为fX*，若f(M)=0则f(x)=0．[证明]设xcl(span(M))，则对fX*，若f(M)=0，由于f是线性的和连续的，自然有f(cl(span(M)))=0，从而f(x)=0．反过来，设xcl(span(M))，则d(x,cl(span(M)))0．由Hann-Banach定理，存在fX*，使f(cl(span(M)))=0，且f(x)=d(x,cl(span(M)))0，得到矛盾．19.验证极化恒等式。[证明]我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的．||x+y||2||xy||2=x+y,x+yxy,xy=(x,x+x,y+y,x+y,y)(x,xx,yy,x+y,y)=4x,y．20.证明由内积导出的范数||x||=x,x1/2满足范数定义的三个条件。[证明]前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上，||x+y||2=x+y,x+y=||x||2+x,y+yx,+||y||2=||x||2+2Re(x,y)+||y||2||x||2+2|x,y|+||y||2||x||2+2||x||·||y||+||y||2=(||x||+||y||)2．所以三角不等式成立．21.证明内积空间中的勾股定理。[证明]设x=x1+x2，且x1x2．则x1,x2=x2,x1=0，所以||x||2=||x1+x2||2=x1+x2,x1+x2=x1,x1+x1,x2+x2,x1+x2,x2=x1,x+x2,x2=||x1||2+||x2||2．22.设X是内积空间，XNM,，NM。证明：MN。[证明]对Nx，因NM，得Mx，故Mx，所以MN。实变函数与泛函分析第四章习题01-151123.设X是内积空间，XNM,，NM。证明：MN。[证明]对Nx，由Nx，及NM，知