2.4正态分布(PPT)

2.4正态分布22(x)2u,1(x)e21.正态密度曲线函数中参数的意义；2.正态曲线的性质4、5、6的理解；3.如何利用正态分布求正态变量的概率？,问题归类：KETANGHEZUOTANJIU22(x)2u,1(x)e21.正态曲线2.正态密度曲线的性质:①曲线位于x轴_____,与x轴不相交.②曲线是单峰的,它关于直线_____对称.③曲线在x=μ处达到峰值______.④曲线与x轴之间的面积为__.12上方x=μ1y=φμ,σ(x)22(x)2u,1(x)e22.正态密度曲线的性质:①曲线位于x轴_____,与x轴不相交.②曲线是单峰的,它关于直线_____对称.③曲线在x=μ处达到峰值______.④曲线与x轴之间的面积为__.12上方x=μ1y=φμ,σ(x)22(x)2u,1(x)e2σ=0.5σ=2σ=1σ=1u=1（5）当σ一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移。（6）当μ一定时，曲线的形状由确定.σ越小，曲线越“”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“”，表示总体的分布越分散.μ瘦高矮胖μσ3.随机变量X服从正态分布,2(,)N则P(Xa)=(ˇˍˇ)：这里的参数μ，σ的意义是什么？提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X˜，则E(X)=μ。参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。2(,)NS阴影部分4.正态变量在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)：(1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.()(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.()(3)正态曲线可以关于y轴对称.()××√课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU2.填一填：(1)已知正态分布密度函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则该正态分布的均值为,标准差为.(2)设两个正态分布N(μ1,)(σ10)和N(μ2,)(σ20)的密度函数图象如图所示,则有μ1μ2,σ1σ2.2x41e2212202课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU(3)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为.ξ在(2,+∞)内取值的概率为。0.80.1课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU3.做一做：（1）已知随机变量X～N(2,σ2),若P(Xa)=0.32,则P(a≤x4-a)=.0.36课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU4-a课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.(1)熟记正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.(2)P(Xa)=1-P(X≥a);P(Xμ-a)=P(Xμ+a).【解题思路归纳】3.（2)已知X～N(1,22),求P(-1X≤3)的值。课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU解：因为X～N(1,22),所以μ=1,σ=2.P(-1X≤3)=P(1-2X≤1+2)=P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826.yx-113【延伸探究】条件不变的情况下,试求P(X≥5).【解析】因为P(X≥5)=P(X≤-3),所以P(X≥5)=[1-P(-3X≤5)]=[1-P(1-4X≤1+4)]=[1-P(μ-2σX≤μ+2σ)]=(1-0.9544)=0.0228.12121212课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIUyx-1135求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法:(1)根据题目中给出的条件确定μ,σ的值;(2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化;(3)利用上述区间求出相应的概率.【解题思路归纳】课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIUx3.（3）在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即~N(90,225).（1）试求考试成绩位于区间(75,120)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在120分以上的考生大约有多少人？1.正态密度曲线函数中参数的意义；2.正态曲线的性质4、5、6的理解；3.如何利用正态分布求正态变量的概率？,问题归类：课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU222)(21)(xexf),(x2.正态分布3.正态曲线的性质xoyxoy1.正态曲线(1)非负性(2)定值性(3)对称性(4)最值性(5)几何性.4.正态分布的简单应用《课时作业》P117-118谢谢大家！再见！xy0频率分布直方图频率组距样本容量增大时各小长方形的面积为各组的频率全部直方图的面积等于1返回1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ3)等于()A.B.C.D.2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【类题训练】返回15121314DC在武汉从汉口乘公共汽车前往武昌高铁站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?变式训练【解析】由已知可设X～N(50,102),Y～N(60,42).由正态分布的2σ区间性质P(μ-2σξ≤μ+2σ)=0.9544.根据上述性质得到如下结果:对X:μ=50，σ=10,2σ区间为(30,70),对Y:μ=60，σ=4,2σ区间为(52,68),要尽量保证用时在X∈(30,70),Y∈(52,68)才能保证有95%以上的概率准时到达.(1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线.(2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了10分钟,应该走第一条路线.(1)某厂生产的零件外直径ξ～N(8.0,0.152)(mm),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为()A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常,下午生产情况异常D.上午生产情况异常,下午生产情况正常知识应用：C（2）据调查统计，某校高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)，若该校共有高二男生400人，试计算该校高二男生身高在(174,180]范围内的人数.解：因为X～N(174,32),所以μ=174,σ=3.P(174X≤180)=P(174-6X≤174+6)=·0.9544=0.4772.400х0.4772≈191（人）1212(3)已知X～N(1,22),求P(3X≤5)的值.因为P(3X≤5)=P(-3≤X-1),所以P(3X≤5)=[P(-3X≤5)-P(-1X≤3)]=[P(1-4X≤1+4)-P(1-2X≤1+2)]=[P(μ-2σX≤μ+2σ)-P(μ-σX≤μ+σ)]=(0.9544-0.6826)=0.1359.(2)某糖厂用自动打包机打包,每包质量X(kg)服从正态分布N(100,1.22).一公司从该糖厂进货1500包,试估计质量在下列范围内的糖包数量.①(100-1.2,100+1.2).②(100-3×1.2,100+3×1.2).【解题探究】1.题(1)中判断上、下午生产情况是否正常的依据是什么?2.题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量?【探究提示】1.依据是3σ原则,即某产品的外径是否落在区间(7.55,8.45)内.2.先依据正态分布求所在区间对应的概率,再计算所求范围内的糖包数量.【自主解答】(1)选C.因为零件外直径ξ～N(8.0,0.152),根据3σ原则,所以在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15=7.55(mm)之外时为异常.因为上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,7.57.55,所以下午生产的产品异常,故选C.(2)由正态分布N(100,1.22),知P(100-1.2X≤100+1.2)=0.6826,P(100-3×1.2X≤100+3×1.2)=0.9974.所以①糖包质量在(100-1.2,100+1.2)内的包数为1500×0.6826≈1024.②糖包质量在(100-3×1.2,100+3×1.2)内的包数为1500×0.9974≈1496.【方法技巧】正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.【补偿训练】某人乘车从A地到B地,所需时间X(分钟)服从正态分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826,又由于P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544,所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718,由正态曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359.【解题探究】1.题(1)中正态分布的概率密度函数关于哪条直线对称?a和4-a的平均数是多少?2.题(2)中μ,σ的值分别为多少?【探究提示】1.关于直线x=2对称.a和4-a的平均数是2.2.μ=1,σ=2.学生学习时问题截屏的呈现教师归类后的问题呈现【解析】(1)错误.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.(2)错误.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是定值1.(3)正确.当μ=0时,正态曲线关于y轴对称.答案:(1)×(2)×(3)√【解析】(1)对照正态分布密度函数f(x)=,x∈(-∞,+∞),可得μ=0,σ=.答案：0(2)可知N(μ1，),N(μ2，)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称，因此结合所给图象知μ1＜μ2，且N(μ1，)的密度曲线较N(μ2，)的密度曲线“高瘦”，因此σ1＜σ2.答案：＜＜22x21e22221222221(3)可知正态分布N(1,σ2)的密度曲线关于直线x=1对称.若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.答案:0.80.1【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ-σX≤μ+σ),P(μ-2σX≤μ+2σ),P(μ-3σX≤μ+3σ)的值.(3)注意概率值的求解转化:①P(Xa)=1-P(X≥a);②P(Xμ-a)=P(X≥μ+a);③若bμ,则P(Xb)=.1P(bXb)2【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ-σX≤μ+σ),P(μ-2σX≤μ+2σ),P(μ-3σX≤μ+3σ)的值.(3)注意概率值的求解转化:①P