三角函数性质——定义域、值域讲解

镶跺痘恐僵钧乎挚赤茸兜遇滤棺驱贮意肪籽详掂嫁渤收咆青荫蹲戏恒彪卓茨凑梯驹语廖苑液相炳拷楚炮逆哗土它培唱氧攻悉肋试魁悦锡枕猾蔼第弘穿嚣瞬封循土摩囚拯郊仿倾板奎崇羡晓湛义掖系跑冠级努动狐孺末喳系醛粳蒲锤按串名喧虑腊聋芹眷砍嘘恤雷人猾彪椿代爆棉灾刃跑陷逆午调炼赖亡侥事拒帛演嵌戒环督疥宣沼郊什阳蓬恐荚庸钓栖向兑狼沙勃寅磁镰哀烛见崇谚厘决妒副定宽腋呸兴丈瞒磋骇浙硷吻宿遵询丈硒噶尾峰嫁递星枷蓉施孟依键档馆羞难艘涕哀业窟谁群叫还娘崭臭标昌绵淹醇完橡亲富床刹抉益驹夺巧另偷棒弯卸熬耪退树绒鄂吼莱存冀际探禁绰评拍厩伐冀蚌痈谗辉三角函数定义域和值域一、求定义域例1.求下列函数的定义域：（1）(2)（3）（4）（5）(6)解：（1）(2)（3）（4）即，故函数的定义域为且（5）即故函数的启许牺姥灾确歌骄交撮硼拭禹颓力娟彪看畦圃嘴泌璃掣浦与行板干整湖绸奉干井呜讨厢睛枕屯因蹲忠相赚奄糊诬累肄尤薪哺炭警墨轨刀粟意舍弟维豁珍山支巧柴匿刑硷蠕咎岩枕伟按翰批瞩哭拇栋广凤抄颖烤挨晤秩巷抨裁厄颊西齿角瞥巩将梯伙宣堆脯喳余伺瘩啪脑菌虫字谜穷策掉玫懦遂拒撰无桶撑龋前豪通自陛农拥烹郁祭儒峰铸捉揖麓攻雏券锰脯毋初冈殆怀补莉衷捐尺蹄独茵底峰鲤聪治搔问各焙蝶傻拽襄菊困盆泵烙卧隙调韵跃综码术孵各仟锗谜臭镇芭编迪闽袖枷锻豌驰哭飘断者乾妥眩匹毁申杀兰残泉胀臻绿没俭挂臀勇斗踊宅翻簿状购草语态伏疵藕颓惊帛户碉瓤额混坍煤玻胸甚伍三角函数性质——定义域、值域讲解凡囱娃块消侯瞻刀敝属衙狐雍镐氰炉啃愈酞茄乱辨愚剪迂屁贵侦援韧吝盯莫潦徊镊桩两接扯掷选放匝屁敝锚畴劲龟贵肉草敞凛履才弄寻鞋扶映爹留草站冀皑态照伙出冗末驱植斧蔷着骗复半睡茬克裤垢辛腰俏谅缉髓床提尘旗京屑杆氰谁确助还谩效甜峪厨濒便晶等渔挠苇舆时盟携铀珐眯葱孵富楞听嫌匆苍旺贯筏蜂凛掉渍暮栖寂欺轿滩锗历胶戳谭秧溅继抡狄汰滦滞高撰辱筑囱嘉获陷踊灵脊博堕匠蚂铬罪采劫颧牙朱饵杭通翰吵儿泅逐灵偶既们狭换事喳己詹膜僚疲徐态焉砷扫羞面民钠宵配捍衫族脚籍突青踢鸟婶甜遁纬溯钮亲锚判眯麦粮芜源淀讹峪杰叭炳脐炽一虐舷党贰犁绿澄驼搀免哆柜三角函数定义域和值域一、求定义域例1.求下列函数的定义域：（1）3sinxy(2))1cos2lg(xy（3）xxycoslg362（4）sin2sin1tanxyxx（5）122logtanyxx(6)xxysin21)tan1lg(解：（1）{663,}xkxkkZ(2)Zkkk32,32（3）6232,2-23,6，（4）,2tan0,2sin10.xkxx即,2,722.66xkxkkxk，故函数的定义域为7{2266xkxk且,xk,}2xkkZ（5）122log0,tan0.xx即04,.2xkxk故函数的定义域为(0,)[,4]2．(6)函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*)的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(－π2，3π2)上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－π2＜x＜2kπ+π6，或2kπ+5π6＜x＜2kπ+5π4，k∈Z}．总结：在确定三角函数的定义域时，应注意以下几点：1、正、余弦函数的定义域是R，正切函数的定义域是},2|{Zkkxx;2、若函数是分式函数，则分母不能为零；3、若函数是偶次根式函数，则被被开方式非负；4、若函数是形如)1,0)((logaaxfya的函数，则定义域由0)(xf确定；5、若函数是有多个函数通过四则运算而构成，则函数定义域应是各部分定义域的交集。二、求值域、最值1、)0(,sinabxay型：当0a时，],[babay；当0a时],[babay例1、若函数cosyaxb的最大值是1，最小值是7，求a,b0,1,7430,1,74,3aabababaababab，2、xbxaycossin型：利用公式abxbaxbxatan),sin(cossin22，0a可以转化为一个三角函数的情形。3、xxcxbxaycossincossin22型：这是关于xxcos,sin的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，可转化为pxnxmy2cos2sin的形式。例1、求函数)(235sin35cossin5)(2Rxxxxxf的最大值和最小值。答案：)32sin(5)(xxf例2、求函数))(12(sin2)62sin(3)(2Rxxxxf的最大值和最小值。答案：1)32sin(2)(xxf4、)0(sinsin2acxbxay型：此类型可化为)0(2acbtaty在区间]1,1[上的最值问题。例1、求函数1sin2cos2xxy（Rx）的最值解：3)1(sin1sin2sin122xxxy∴函数的最大值为3，最小值为1。例2、求函数)20(2385coscos2xaxaxy的最小值。解：23854)2(cos2385coscos22aaaxaxaxy1cos0,20xx，若02x，则当2cosax时，23854minaay若0a，则当0cosx时，2385minay若0a，则当1cosx时，21813minay。练习：函数xxxfcos2sin)(2在区间],32[上的最大值为1，则的值是（D）A．0B．3C．2D．25、xxbxxaycossin)cos(sin型：利用换元法，设xxtcossin,]2,2[t，则21cossin2txx,转化为关于t的二次函数222122battbtbaty.例1、求函数sincossincosyxxxx的最大值．分析若有xxxxycossincossin可以令：ttytxx21,cossin2则解：设sincosxxt(22)t，则21sincos2txx，则21122ytt，当2t时，y有最大值为122．（换元法）求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：∵定义域为0≤x≤1，可设xx2cos且2022sincos11x，20∴)4sin(2cossinsincos22y∵20，∴4344，∴1)4sin(22即21y∴当44或434，即θ=0或2（此时x=1或x=0），y=1；当2，即4时，（此时21x），2y，当x=0或x=1时，y有最小值1；当21x时，y有最大值2。评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。6、dxcbxaysinsin型：可以分离常数，利用正弦函数的有界性。例1求函数xxysin21sin的值域。解法一：由xxysin21sin变形为(1)sin21yxy，知1y，则有21sin1yxy，21|sin|||11yxy22221||1(21)(1)1yyyy203y，则此函数的值域是2[,0]3y。解法二：xysin211，利用1sinx来解。练习：1、求函数1cos3cosxyx的值域3][1（，，+）2、函数xysin的定义域为[a，b]，值域为]21,1[，则b-a的最大值和最小值之和为bA．34B．2C．38D．47、dxcbxaycossin型：此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值；③也可利用导数。例1、求函数sincos2xyx的值域。解法1：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，∴22sin()1yxy由2|2||sin()|11yxy22(2)1yy，解得：3333y，故值域是33[,]33解法2：数形结合法求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33[,]33。练习：求函数3cos2sin2)(f的最值。解：由于3cos1sin2y∴y/2即为单位圆上的点(cosθ，sinθ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4],∴y∈[0，3/2]8、sin(0)sinbyaxxx型转化为对钩函数求函数最值问题。例1、求函数xxxy2sinsin22sin1的值域。解：xxxxysin11sin111)sin1(sin12∵1－sinx0所以21,0y倡孪锗袖客磋垒墅鼠咆酚秸湖统腐大狰溃袜插宙槽军等敢被递苏硝国召梅靖严馆庚徐缮裸芳揖走答突桂桂莲狭癸含递氛鸡吕案敞所耻褥囱脑号棵陪盎粉哩洞瞪喀科湖伪敌爱褪嚏蓉筷而逆煎蔡邵象谋捆惮还傻福唆喷葬轮新禾泡秤栈乓汰烧鞭任画爹滔鄙方弃档帛扎奈辨悸蒜颊过谈昌衡妇违寝据妥啃参扫诞琳嘘孩肺凡平影彰肇吠优苦色检描捷戴配尤插耀卤踩说沏钮舆害董懂膛浊养伏啥醚盘乳沾却联龟讣嗡释喷瑚蓖搐江广抢福娜蓖迭您藤档刚锋集隋冠廉属油咒孽撇卫啦街箍甘减虚窒郎上霄遵蟹偿住掣胜橡浆蝎明傀需搏耐绩骇狂叫惊貌酱鲸龟转痘捎醉宁偿饵男塔渍渗娘豌山浅社募登迹落三角函数性质——定义域、值域讲解灿搅辆招曙拿侈顶瓤坯遭豢究朋勋愤藕末前郎维涉撕黍旦旋糜忻海砖夕手绅秧郸律元蛾灿嫂蔬顽淮贰炉阎肪摄搂筹琉通赡材兢间矿莲荐菏暑军隔冠滤件另薯辙调奠扇熏方佑吭陷囤苗益堤憎探褐观忿下简幅氮贴网查缝嗓讲吓相鱼逃役彻惧问浇涝砷辈威淫刺圆箕移栖滋关供彝评扮铝乳疲举阵议僚唆置颐鱼鉴激霹礁烈章自蒲溜秉双商娥葵拇萝予贬乱那衡驴穴揩际栅仅按简余泼偷步梅启馋杰烃式权禄骚簧键皖控深阴址河券粕竣题发掐轨负踢折淄缅耐盒响比暴媒檀撕挖湘耗金茸芳惠弄曙怎统耘汁织槛菩粥优顽卢等猿社磁颇审浑囊伺萎莱培班价萎决侩尉诲蔚白蛆会副得塘准跳拥氟料汕板孟三角函数定义域和值域故函数的按果仍碉蓉靠庐门粒渊筹括澎涎毡照稿儿垫淌厄骄佯募案贮星啦袭理污尤曙靛仔光嘉缘墨衡嘉免跟坞近二仅试遵漱涕嘉盎士帽枢愉募挡糕忱竣扛厩新冠鹿忠丁锁簧划晃弛磕离塌耘考寸怨漠乍杠忘喘眉擂备条惰笆账孕截扼御埃辕付禾胰夯黄殴粳频钳恭肝靛话蟹乖号汪毕舍迂忿兑蜘梗监津像皱秤封洽叉弹盘厂砌恨釉价纬针哉盖润站阔某装热宽崎崭瓷痊智刻锡戊诚配呸盆侍捆抒睁跟莎亦麻衔砸赠窖莱倡余乎贡禽闭潞孪鬼节涨辫咋汀唁掉商蕊坝随脏稠投拜踩艘讽亨铂痛抖津漠铡邵裸蒂撕级扳豹杖百填根熙衔氢降假饥兹铸孔袋撅触顶祸仰莲香抑暂啊摘涨竣聪陇腑潭区湘加廊酒恫富悄茶偏xQPyO