概率论基础复旦版李贤平第二章ppt

第二章条件概率与统计独立性2.1条件概率，全概率公式与贝叶斯公式2.2事件独立2.3伯努利试验与直线上随机游动2.4二项分布的波松分布逼近2.6小结与综合练习2.1条件概率在第一章计算任何事件的概率都是在实验条件下考虑问题，而在实际中，人们在考虑某一事件概率问题时不仅要考虑实验条件，而且还要考虑一些附加条件，如在一个事件发生下考虑另一个事件发生的概率。我们称前者为无条件概率，后者称为条件概率。).(,BAPABBBA记为的概率即使条件概率，发生下，事件件在事的概率不为零，那么，为两个事件，事件设由于无条件概率和条件概率实在不相同条件下所确定的概率，因此，一般情况下二者的值是不尽同的，它们是不可比的，只能针对不同的情况考虑它们的大小关系。下面通过一个实例来看看二者间的差异。例2.1假定生男生女是等可能。若已知某一个家庭有俩孩子，求这个家庭有一个男孩，一个女孩的概率；若已知这个家庭至少一个女孩，求这家有一个男孩，一个女孩的概率。解：设表示“这个家庭有一个男孩，一个女孩”；表示“这个家庭至少一个女孩”。于是，所求概率分别AB)(,)(BAPAP由题意知样本空间和事件分别可表示为所以有),(),,,),(),(),,(),,),,,,),(女女男（女女男男女女男女（女男（女女）（男男男BA32)(21)(BAPAP过程可进行如下转换中注意：求解例)(2.1BAP)()(4/34/232)(BPABPBAP虽然，这个公式是以一个特例形式引入的，但可以证明，对第一章所讲的确定概率方法，该公式总是成立的。条件概率的概念发生的条件概率。发生条件下事件为事件并称，记则对于任意，，而且是一个概率空间，设ABBAPBPABPBAPΓABPΓBPΓDef)()()()(0)(),,()(1)()4(BAPBAP)()()()()5(CABPCBPCAPCBAP等概率性质均成立。概率与概率的区别和联系联系：它们都是在发生下求概率。区别：①求时，事件同时发生；而求时，事件先发生，事件后发生；)(ABP)(BAPBA,)(ABPBA,)(BAPBA条件概率的性质条件概率具有概率的一切性质，譬如：0)()1(BAP1)()2(BP11)()()3(iiiiAPBAP②求时，样本空间为；而求时，样本空间为，即样本空间发生变化，如图1.10所示。一般总有成立，但与不可比3.条件概率的计算★一般利用条件概率的定义转化为无条件概率计算；★对于具有等可能性的古典概型、几何概型采用压缩样本空间法计算，即用下式计算：)(ABP)(BAPB()()PABPABAB()PAB(|)PAB图1.10BA)()()(BABBAPB发生条件下，A发生的次数或度量B发生的次数或度量)(BAP)(AP例2.2某种动物出生之后能活到20岁的概率为0.7，能活到25岁的概率为0.56，已知现有一只年龄为20岁的这种动物，求其能继续活到25岁的概率。解：设表示“该动物能活到20岁”；表示“该动物能活到25岁”。显然有，由题设条件知：由于有，由条件概率的定义有即年龄为20岁的这种动物，能继续活到25岁的概率为0.8。注意：该题是一个典型的利用条件概率定义式将条件概率计算问题转化为无条件概率的解题方法。应用这种方法计算条件概率时，一定要注意概率与概率的区别和联系，而且概率和概率要容易求算。ABAB()0.7,()0.56PAPBBAB()()()0.8()()PABPBPBAPAPA)(ABP)(BAP)(ABP)(AP例2.3设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品。从中任取1件，试求解下列问题：（1）取得一等品的概率；（2）已知取得的是合格品，其是一等品的概率。解：设表示取得一等品，表示取得合格品，则有（1）因为100件产品中有70件一等品，所以（2）所求概率为，由古典概型易知从而由条件概率定义有注意：该题的第二问也可以采用压缩样本空间法求解。AB70()0.7100PA10095)(,10070)(BPABP)(BAP7368.09570)()()(BPABPBAP例2.4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞。求所抽出2张都是假钞的概率。解：设表示“抽出的2张都是假钞”；表示“抽出的2张中至少有1张假钞”。显然有，所求概率为。由古典概型有所以ABBABAP220115152522025)()(CCCCBPCCAPABP8510)()(115152525CCCCBPABPBAP例2.5体检发现，某地区自然人群中，每10万人内平均有40人还原发性肝癌，有34人甲胎球蛋白含量高，有32人患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白含量高。现从这一地区随机抽查一人，发现其甲胎球蛋白量高，求其患原发性肝癌的概率有多大？若在这个人群中，已知一人患原发性肝癌，求该人甲胎球蛋白含量高的概率？)(),(ABPBAPBA于是，所求概率分别为含量高”表示“所抽人甲球蛋白肝癌”表示“所抽人患原发性解：设8.0)()()(,9412.0)()()(00032.0)(,00034.0)(,0004.0)(APABPABPBPABPBAPABPBPAP由题设知概率乘法公式利用条件概率定义容易获得积事件概率的计算公式，即概率乘法公式设为随机试验的任意两个事件，且满足和，则有概率乘法公式可以推广到任意有限个事件积情况：设任意个事件，且，则必成立：个事件的概率乘法公式并不只有上面这种形式。事实上，对于事件，这样形式的公式一定有个。请大家对的情况写出这些公式，并注意观察其规律。BA,E0)(AP0)(BP0)()()(0)()()()(BPBAPBPAPABPAPABPnAAA,,,21n121()0nPAAA)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPnnnAAA,,,21!n3n例2.6在一批产品中，甲厂生产的产品占60%，根据以往的经验，甲厂产品的次品率为10%，现从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。解：设表示事件“产品是甲厂生产的”；表示事件“产品是次品”。由题设知概率的乘法公式有例1.21某人打算外出旅游两天,需要知道两天的天气情况，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1.求第一天下雨时，第二天不下雨的概率.解：设与分别表示第一与第二天下雨，于是AB%60)(AP%10)(ABP%6%10%60)()()(ABPAPABP1A2A656.01.06.0)()()()()()(121112112APAAPAPAPAAPAAP例2.7甲、乙、丙3位求职者参加面试，每人的试题通过不放回抽取方式确定。假设被抽的10个试题卡中有4个是难题卡，抽取按甲先，乙次，丙最后的次序进行。试求解下列事件的概率：（1）甲抽到难题卡；（2）甲没抽到难题签而乙抽到难题卡；（4）甲、乙、丙都抽到难题卡。解：设分别表示“甲、乙、丙抽到难题卡”，于是，所求概率分别为CBA,,3018293104)()()()(15494106)()()(52104)(ABCPABPAPABCPABPAPBAPAP全概率公式与贝叶斯公式在计算较复杂的事件的概率时，根据事件在不同原因或不同情景下发生，将它分解成若干互斥事件的和，进而分别计算概率，然后求和。这就是全概率公式所体现的思想，全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一些复杂事件的概率计算问题得以化简。贝叶斯公式则是在已知一事件发生下，重新认识导致该事件发生的原因事件的概率，即有了试验结果后对原因事件认识的调整。全概率公式定理：设为互斥事件完备群，为任意事件，且，则有该公式称为全概率公式。证明因为为互斥事件完备群，必有kAAA,,,21BkiAPi,,2,10)(kiiiABPAPBP1)()()(kAAA,,,21kjijiAAAAAjik,,2,1,21于是有且有两两互斥，所以有从证明过程不难看出，全概率公式在较弱的条件下也是成立的。全概率公式的推广形式：设为一组两两互斥事件，为任意事件，，，则有BABABAAAABBBkk2121)(BABABAk,,,21kiiinkkkABPAPABPAPABPAPBAPBAPBAPBABABAPBP1112121)()()()()()()()()()()(kAAA,,,21BiiABkiAPi,,2,10)(kiiiABPAPBP1)()()(例2.8为了掌握一支股票未来一定时期内价格的变化，人们往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。人们根据经验估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。解：设表示“利率下调”，那么为“利率不变”，表示“股票价格上涨”。据题设知于是有AAB%60)(AP%40)(AP%80)(ABP%40)(ABP64.040.040.080.060.0)()()()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP例2.9设播种用小麦种子中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.10，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。解：设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是，则它们构成互斥完备事件群，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，于是，由题设条件有则由全概率公式：4321,,,AAAAB%1)(%5.1)(%2)(%5.95)(4321APAPAPAP05.0)(10.0)(15.0)(5.0)(4321ABPABPABPABP4825.0)()()(41iiiABPAPBP例2.10设甲袋有3个白球2个黑球，乙袋有4个白球4个黑球，先从甲袋取出2个球放入乙袋，再从乙袋取出1个球，求该球为白球的概率。白球。表示从乙袋中取出的是；个白球，个球中恰有表示从甲袋取出的解：设AiiAi2,1,0225232251312125220210)(,)(,)(,,CCAPCCCAPCCAPAAA不难计算为互斥事件完备群，且于是有110162110151110140)(,)(,)(CCAAPCCAAPCCAAP2513)()()()()()()(221100AAPAPAAPAPAAPAPAP所以贝叶斯公式（逆概率公式）定理：设为互斥事件完备群，为任意事件，且，则有该公式称为贝叶斯公式。其中成为先验概率，称为后验概率。由条件概率定义式和全概率公式不难证明此结果。贝叶斯公式是1763年由T.B.Bayes在他的一篇重要文章（该文章是在他死后，由他的朋友发表的）中提出来的。起初该公式并没有得到应有的重视，直到后来P.S.Gauss用它推导出“相继律”才引起了人们的研究兴趣，并依次为出发点形成了统计学上重要统计思想—贝叶斯统计。贝叶斯公式是先验概率与后验概率转化工具。kAAA,,,21B0)(,,2,10)(BPkiAPikiAiBPAPABPAPBAPkiiii,,2,1)()()()()(1i)(iAP)(BAPi例2.11每箱产品共有10件，在一箱产品中次品件数出现0,1,2件的可能性是均等的。开箱检验时，从中依次抽取两件(不重复)，如果发现有次品，则拒收该箱产品。试计算：（1）一箱产品通过验收的概率