一阶微分方程的常见类型及解法

13-12020/5/13类型一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程的常见类型及解法类型二、齐次方程类型三、一阶线性微分方程13-22020/5/13分离变量类型一、可分离变量的微分方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22两边同时积分()d()dgyyfxx13-32020/5/13例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1CeC令(C为任意常数)或说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.13-42020/5/13例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,211yx(C为任意常数)故所求特解为1)0(y13-52020/5/13例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan(（C为任意常数）所求通解:13-62020/5/13类型二、齐次方程令,yux代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:13-72020/5/13例4.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(C为任意常数)13-82020/5/13例5.解微分方程解:2d2,dyyyxxx变为方程形,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuu11dd1xuuux即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)((C为任意常数)13-92020/5/13类型三、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,若Q(x)0,称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程;13-102020/5/130)(ddyxPxy1.解齐次方程分离变量得两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为()dPxxyCe13-112020/5/13对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(()d()d()dPxxPxxyeQxexCy即即设通解xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得13-122020/5/13例6.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy（常数变易法）令,)1()(2xxuy代入非齐次方程解得322(1)3uxC故原方程通解为注:亦可直接带公式计算！13-132020/5/13思考与练习求下列方程的通解：提示:xxxyyyd1d122(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln