不等式恒成立问题及能成立问题

例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略——谈2008年江苏高考数学试卷第14题摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()fxaxxxR若对于任意1,1x都有()0fx成立，则实数a的值为。解析如下：析：将()0fx中的,ax分离，然后求函数的最值。解：函数3()31()fxaxxxR若对于任意1,1x都有()0fx成立，函数3()31()fxaxxxR对于任意1,0,0,10xxx及其有()0fx都成立。若1,0x，33213()310fxaxxaxx，设1tx则1t3232133(1)tttxx，令323(1)yttt，则'2360ytt323(1)yttt单调递减，32min1(1)3(1)4tyy，4a（1）若0,1x，33213()310fxaxxaxx，设1tx，则1t3232133(1)tttxx，令323(1)yttt，则'2363(2)ytttt，当12t时'0y，323(1)yttt单调递增；当2t时'0y，323(1)yttt单调递减，32max22324tyy，4a（2）若0x则aR，()0fx成立（3）由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略:1、若f(x)≥a对x∈D恒成立，只须f(x)min(x∈D)≥a即可。2、若f(x)≤a对x∈D恒成立，只须f(x)max(x∈D)≤a即可。该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下已知函数f(x)=xaxx22,x∈),1[.（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意的x∈),1[，0)(xf恒成立，试求a的取值范围。析：由于x∈),1[，0)(xf220xxa化繁为简。解：（1）当21a时，221)(xxxf，)(xf在区间[),1上为增函数，)(xf在区间[),1上的最小值为27)1(f（2）在区间[),1上，02)(2xaxxxf恒成立022axx恒成立，设),1[,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增，∴当1x时，ay3min，于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。一、直接法例1．已知0,0xy，且211xy，若222xymm恒成立，则实数m的取值范围是．析：本题可利用不等式求最值解：2142(2)()4()8yxxyxyxyxy，而222xymm对0,0xy恒成立，则228mm，解得42m例2．若不等式142xxa≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为。析：本题可转化为求二次函数的最值解：令142,1,2xxyax，则2211,1,24xyaxx而22所以2min(21)1yaa，因不等式142xxa≥0在[1，2]上恒成立所以min0ya，即0a例3．已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ,42x．（1）求()fx的最大值和最小值；（2）若不等式()2fxm在ππ,42x上恒成立，求实数m的取值范围．析：()2()2()2fxmfxmfx，max()2mfx∴且min()2mfx解：（1）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx∵π12sin23x．又ππ,42x∵，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3,()2fxfx∴．（2）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ,42x，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(1,4)．二、分离参数法例4．关于x的不等式kxxxx3922在]5,1[上恒成立，则实数a的范围为．析：含参问题的考察始终是高考的热点，要善于对问题先观察思考后动手，避免不必要的麻烦。解析一：两边同除以x，则39xxxk，69xx，03x，当且仅当3x，两等式同时成立，所以3x时，右边取最小值6，6k．解析二：（提示）可分3x1和5x3讨论．求分段函数的最小值．答案：6k．例5．若a,b均为正实数，且abamb恒成立，则m的最小值是析：参数分离abamb1aambb，然后求1aabb的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略求m的最小值解：因a,b均为正实数，abamb1aambb，根据基本不等式2222()(),(0,0)ababab得2212()(1)2aaaabbbbabamb恒成立min1aambb2m，则m的最小值是2三、等价转化法例6．已知函数22()ln(0),fxxaxxx若()fx在[1,)上单调递增，求a的取值范围；析：本题的实质由'0fx在[1,)上恒成立，求a的取值范围。解：由22lnfxxaxx，得'222afxxxx若函数为[1,)上单调增函数，则'0fx在[1,)上恒成立即不等式2220axxx在[1,)上恒成立.也即222axx在[1,)上恒成立令22()2xxx，上述问题等价于max()ax，而22()2xxx为在[1,)上的减函数，则max()(1)0x，于是0a为所求例7．已知函数()exfxkxxR，若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；析：本题可利用()fx是偶函数．将问题等价转化为：已知()0fx对任意0x≥成立，确定实数k的取值范围．解：由()()fxfx可知()fx是偶函数．于是()0fx对任意xR成立等价于()0fx对任意0x≥成立．由()e0xfxk得lnxk．①当(01]k，时，()e10(0)xfxkkx≥．此时()fx在[0)，上单调递增．故()(0)10fxf≥，符合题意．②当(1)k，时，ln0k．当x变化时()()fxfx，的变化情况如下表：x(0ln)k，lnk(ln)k，()fx0()fx单调递减极小值单调递增由此可得，在[0)，上，()(ln)lnfxfkkkk≥．依题意，ln0kkk，又11ekk，．综合①，②得，实数k的取值范围是0ek．例8．已知P：2x2-9x+a0,q：22430680xxxx且p是q的充分条件,求实数a的取值范围.析：BAxBxA，即A中的不等式对于B中的x恒成立解：由q：22430680xxxx得q:2x3设A=｛x︱p｝=｛x︱2x2-9x+a0｝，B=｛x︱q｝=｛x︱2x3｝pq,∴qp∴BA即2x3满足不等式2x2-9x+a0∴2x3满足不等式a9x-2x2∵当2x3时，9x-2x2=-2(x2-29x+1681-1681)=-2(x-49)2+88199x-2x2≤881∴a≤9评：以上三例均是将它们转化为不等式恒成立问题。等价转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这将有利于强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和解决数学问题的技能、技巧。四、数形结合法根据恒成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关系找出参数的变化范围.例9．不等式ax≤)4(xx在x∈[0,3]内恒成立，求a的变化范围.解：画出两个函数y=ax与y=)4(xx的图象.（如图）将x=3代入ax=)4(xx,得a=33∴a∈33,例10．若211()22xkx对一切01x都成立，则k的取值范围是________析：构造两个函数211,()22yxykx，半圆21yx应全在直线1()22ykx的下方，，其中直线1L过点（0，1）斜率为2，直线2L与21(01)yxx相切斜率为31324，画图易得：231324k评：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离”。五、“能成立”与“恒成立”的问题“能成立”与“恒成立”的问题分属于“存在性命题”和“全称命题”的范畴，应区别对待。例11．若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是．析：“关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，等价于230xaxa有解，则2min(3)0xaxa”与“关于x的不等式32aaxx的解集是R，等价于230xaxa恒成立，则2max(3)0xaxa”不同，应加以体会。解：设aaxxxf2.则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3minxf,即,3442minaaxf解得6a或2a评：不等式能成立问题的处理策略:1、若f(x)≥a对x∈D能成立，只须f(x)max(x∈D)≥a即可。2、若f(x)≤a对x∈D能成立，只须f(x)min(x∈D)≤a即可例12．若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+(a－2)x－2＞0成立，则实数x的取值范围是.析：一方面要进行主次元的转换，把不等式ax2+(a－2)x－2＞0看成关于a的不等式，另一方面利用不等式能成立的条件求实数x的取值范围。解：令22()(2)2()22faaxaxxxax可看成关于a的一元一次函数，存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+(a－2)x－2＞0成立的条件为max()0fa只须min()0()0manfafa或，(1)0(3)0ff或，即2220320xxxx或，则213xx或综上