恒成立问题的一般解法

恒成立问题的一般解法——（一）分离参数法（二）构造函数法（三）更换主元法（四）数形结合法例1、已知不等式ax2-2x+2ax2对任意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.一、利用分离参数法解决恒成立问题已知函数f(x)=ax-lnx.若f(x)1在(1，+∞)上恒成立，求a的取值范围.max)]([xfamin)]([xfa解题依据：（1）a≥f(x)恒成立（2）a≤f(x)恒成立随堂练习1、解：依题意：1)(xf在),1(上恒成立xxa1ln对一切),1(x恒成立设xxxg1ln)(，则2ln)(xxxg当),1(x时，0)(xg，即函数)(xg在),1(上单调递减所以1)1()(gxg，则1a，故a的取值范围为),1[对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意：对这类题要注意看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数的取值.[03]x，例2、设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R，t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m对于任意的t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.二、利用构造函数法解决恒成立问题若不等式x2-2mx+2m+10对满足0≤x≤1的所有实数x都成立，求m的取值范围.随堂练习2解：设122)(2mmxxxf，依题意：当10x时，0)(minxf恒成立(1)当0m时，fx在[0,1]上是增函数，因此)0(f是最小值，由012)0(0mfm解得，021m(2)当10m时，fx在mx时取得最小值由012)(102mmmfm解得，10m（3）当1m时，fx在[0,1]上是减函数，因此)1(f是最小值由02f(1)1m解得，1m综上所述，m的取值范围为),21(求解恒成立问题时，可依据不等式的特征先构造出某个区间上的函数，再利用函数的性质解题。（2）若构造二次函数，可利用二次函数的图象特征、判别式等求解。（1）形如f(x)g(x)(x∈I)的恒成立问题，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，则原不等式等价于h(x)0(x∈I)恒成立，继而可利用导数研究函数h(x)的单调性、极值，便可求解；例3、已知不等式ax2-2x+2ax2对任意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.三、利用更换主元法解决恒成立问题对于0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px4x+p-3恒成立，求x的取值范围.对于一次函数f(x)=kx+b，x∈[m，n]有：0)(0)(0)(nfmfxf恒成立0)(0)(0)(nfmfxf恒成立当不等式中出现参数时，我们往往以自变量为主元，有时易致使解题思路受阻，解题过程不畅。若将题中已知范围的参数与自变量“主、客转化”，问题就会变得简单。[03]x，四、利用数形结合法解决恒成立问题例4、若不等式3x2-logax0在x∈(0，)内恒成立，求实数a的取值范围.31已知对任意实数x，不等式∣x+1∣≥kx恒成立，求k的取值范围.若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地作出不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。注意：利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。解题依据：f(x)g(x)对一切x∈I恒成立等价于f(x)的图象在g(x)的图象上方.•一般地，解决不等式恒成立问题的思想方法是：分类讨论、数形结合、参数分离、变换主元等。这节课我们学习了解决恒成立问题的一般法。分离参数法构造函数法更换主元法数形结合法这些方法是、、、。