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第三章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．5米/秒C．6米/秒D．4米/秒答案B2．若二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导数y＝f′(x)的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则y＝f(x)的图像顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析设f(x)＝ax2＋bx＝a(x2＋bax)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)，f′(x)＝2ax＋b过第一、二、三象限的一条直线，∴b0，a0，∴－b2a0，－b24a0，∴顶点在第三象限．答案C3．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴倾斜角为45°.答案B4．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a等于()A．－32B.12C．－12D．－12或－32解析f(x)＝－(x＋1)2＋4.f(x)的开口向下，对称轴为x＝－1，当x＝－1，f(－1)＝4154，∴a－1.∴f(x)在[a,2]是减函数．∴f(a)＝154，解得a＝－12，或a＝－32(舍去)．答案C5．已知物体的运动方程是S(t)＝t2＋1t(t的单位：s，S的单位：m)．则物体在时刻t＝2时的速度v与加速度a分别为()A.154m/s94m/s2B.152m/s92m/s2C.92m/s154m/s2D.94m/s154m/s2解析S′(t)＝2t－1t2∴v＝S′(2)＝2×2－14＝154.令g(t)＝S′(t)＝2t－1t2，∴g′(t)＝2＋2t－3，∴a＝g′(2)＝94.答案A6．若函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x)＝0是f(x)在x0处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像为()答案D8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·xf(x)，且f(2)＝0，则fxx0的解集为()A．(0,2)B．(0,2)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．∅解析[fxx]′＝fxx－fxx20，∴fxx为减函数，∵f(2)＝0，∴f2＝0.∴fxx0的解为0x2，故选A.答案A9．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1a处有极值，则ac＋2b的值为()A．－3B．0C．1D．3解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题可知f′(1a)＝3a(1a)2＋2b1a＋c＝0，∴3a＋2ba＋c＝0，∴ac＋2b＝－3，故选A.答案A10．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈[－π2，π2]，且f(x1)＋f(x2)0，则下列不等式中正确的是()A．x1x2B．x1x2C．x1＋x20D．x1＋x20解析易知函数f(x)为奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)为增函数，由f(x1)＋f(x2)0⇒f(x1)－f(x2)⇒f(x1)f(－x2)⇒x1－x2⇒x1＋x20.答案C11．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析设B(x0，x30)，由于y′＝3x2，故切线l的方程为y－x30＝3x20(x－x0)，令y＝0得点A(2x03，0)，由|OA|＝|AB|，得(2x03)2＝(x0－2x03)2＋(x30－0)2，当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x40＝13，故x20＝33，直线l的斜率为3x20＝3，故直线l的倾斜角为60°.答案C12．若a，b在区间[0,3]上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是()A.12B.33C.36D．1－36解析易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0，且其导函数的判别式大于0，即a≠0，且4b2－12a20，又a，b在区间[0，3]上取值，则a0，b3a，点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36.答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，则x0的值为________．解析y＝x2－1的导数为y′＝2x，y＝1－x3的导数为y′＝－3x2，∴由题可知2x0＝－3x20，∴x0＝0，或x0＝－23.答案0或－2314．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋a，由题可知f′(x)＝0有两个不等的根，∴a0.答案(－∞，0)15．若f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，则不等式f(x)0的解集是________．解析由题可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴3a＝3，2b＝－6，c＝0，d＝4，∴a＝1，b＝－3，c＝0，d＝4.∴f(x)＝x3－3x2＋4＝x3＋x2－4(x2－1)．＝x2(x＋1)－4(x－1)(x＋1)＝(x＋1)(x－2)2，∴f(x)0的解为x－1，且x≠2.答案{x|x－1，且x≠2}16．已知函数f(x)＝3x＋ax＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析由题可知，函数f(x)＝3x＋ax＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f′(x)＝x＋2－x＋ax＋2＝6－ax＋2在(－2，＋∞)上小于零，解得a6.答案(6，＋∞)三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋30，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)min＝－12；x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.18．(12分)若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．解由f(x)在R上为增函数知f′(x)≥0，从而将问题转化为一元二次不等式问题求解．f′(x)＝3ax2－2x＋1.∵f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0.即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．即a0，Δ＝4－12a≤0，∴a≥13.∴a≥13.19．(12分)已知函数f(x)＝13x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．解f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0得，x＝－2，或x＝2.故f(x)的增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，减区间为(－2,2)．(1)当x＝－2时，f(x)取得极大值，故f(－2)＝－83＋8＋m＝283，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x3－4x＋4又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.20．(12分)(2010·安徽)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0x2π，求函数f(x)的单调区间与极值．解由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0x2π，知f′(x)＝1＋2sin(x＋π4)．令f′(x)＝0，从而sin(x＋π4)＝－22，得x＝π，或x＝3π2，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(0，π)π(π，3π2)3π2(3π2，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增π＋2单调递减32π单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f(3π2)＝3π2，极大值为f(π)＝π＋2.21．(12分)已知函数f(x)＝13x3＋a－22x2－2ax－3，g(a)＝16a3＋5a－7.(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，且x∈[－2,0]时，不等式f(x)g(a)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝13x3－12x2－2x－3，定义域为R，f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)．令f′(x)0，得x－1，或x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－a.∵函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，∴－a∈(－2,0)，即0a2.又∵在(－2，－a)上，f′(x)0，在(－a,0)上，f′(x)0，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，－a)－a(－a,0)0f′(x)＋0－f(x)f(－2)单调递增极大值单调递减f(0)∴f(x)在[－2,0]上有唯一的极大值点x＝－a.∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－a)．∴当x∈[－2,0]时，不等式f(x)g(a)恒成立，等价于f(－a)g(a)．∴－13a3＋a－22×a2＋2a2－3g(a)．∴16a3＋a2－316a3＋5a－7.∴a2－5a＋40，解得1a4.综上所述，a的取值范围是(1,2)．22．(12分)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)当x1时，12x2＋lnx23x3是否恒成立，并说明理由．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝x－ax(x0)，∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝x－ax＋ax.∴当0xa时，f′(x)0，当xa时，f′(x)0.∴当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2)设g(x)＝23x3－12x2－lnx(x1)则g′(x)＝2x2－x－1x.∵当x1时，g′(x)＝x－x2＋x＋x0，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴g(x)g(1)＝160.即23x3－12x2－lnx0，∴12x2＋lnx23x3，故当x1时，12x2＋lnx23x3恒成立．