将军饮马专题

中考数学专题：将军饮马模型(制作人：郑娥梅)2020【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．12【问题原型】将军饮马造桥选址【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；3【解题思路】找对称点，实现折转直知识导航将军饮马问题常见模型11两定一动型：.在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.例2在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB最小.例3在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.例1例5在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大例6在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大例4在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB最小.1例1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小原理：两点之间线段最短。针对训练11例2在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.原理：两点之间线段最短。针对训练2针对训练31例3在定直线l上找一个动点p，使动点p到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大原理：三角形任意两边之差小于第三边针对训练41例4在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大原理：三角形任意两边之差小于第三边针对训练51例5在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即∣PA-PB∣最小.原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等1例6在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即∣PA-PB∣最小.原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．例7在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．例8在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．例92两动一定型1例7在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．原理：两点之间，线段最短针对训练6针对训练71例8在∠MON的外部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．原理：垂线段最短1例9在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．原理：垂线段最短（造桥选址）3已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.例10两定两动型最值例12在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．例111例10在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．原理：两点之间，线段最短针对训练81例11已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移1例12将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．原理：两点之间，线段最短用模型战试题每一个试题都是模型，每一种模型都有方法2综合训练2针对训练1第1题图B1.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为()A.B.2C.D.2332返回2针对训练22.如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE值最小，则这个最小值为()第2题图DA.B.2C.D.25335返回2针对训练33.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为()第3题图CA.B.2C.D.333132返回2针对训练4第4题图A4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为()A.B.C.D.3132137返回2针对训练5第5题图B5.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为()A.3B.4C.5D.5返回2针对训练66.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为()第6题图CA.4B.5C.6D.72针对训练77.如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为________．第7题图,252477返回2针对训练88.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．第8题图2510返回1综合训练1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。1综合训练2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是____。A.ABB.DEC.BDD.AF13.如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是____。综合训练314.如图，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是________．综合训练AC＝CD＝BD︵︵︵15.如图，在直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．综合训练1综合训练6此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“将军饮马问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“将军饮马问题”。方法总结：3透过现象→看本质THANKYOU