2018-2019学年人教A版选修1-1----第三章--导数及其应用-章末检测试卷(三)

章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列导数运算正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(2x)′＝x2x－1C．(cosx)′＝sinxD．(xlnx)′＝lnx＋1考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求函数的导数答案D解析根据导数的运算公式可得x＋1x′＝1－1x2，故A错误；(2x)′＝2xln2，故B错误；(cosx)′＝－sinx，故C错误；(xlnx)′＝lnx＋1，故D正确．2．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝12gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为v，在t＝2的瞬时速度为v2，则v和v2关系为()A.vv2B.vv2C.v＝v2D．不能确定考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案C解析平均速度为v＝s3－s13－1＝12g32－122＝2g.∵s(t)＝12gt2，∴s′(t)＝gt，t＝2的瞬时速度为v2，∴v2＝s′(2)＝g×2＝2g，∴v＝v2，故选C.3．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A．10B．5C．－1D．－37考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程答案D解析∵f(x)＝x3＋4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4，∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－37，∴切线在x轴上的截距为－37，故选D.4．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A．2B．1C．－1D.12考点导数的几何意义题点导数几何意义的理解答案B解析由题干中的图象可知曲线的切线经过点(1,2)，则k＋3＝2，得k＝－1，即f′(1)＝－1，且f(1)＝2，∵h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1，故选B.5．以正弦曲线y＝sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.0，π4∪3π4，πB．[0，π)C.π4，3π4D.0，π4∪π2，3π4考点基本初等函数的导数公式题点正弦、余弦函数的导数答案A解析y′＝cosx，∵cosx∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是0，π4∪3π4，π.6．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能的是()考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案D解析根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在x轴上方，而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在x轴下方，可知D不符合．7．若函数f(x)＝x3－3ax＋b(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为()A．(－1,1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案A解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±a.令f′(x)0，得xa或x－a；令f′(x)0，得－axa.即在x＝－a处取极大值，在x＝a处取极小值．∵函数f(x)＝x3－3ax＋b(a0)的极大值为6，极小值为2，∴f(a)＝2，f(－a)＝6，即aa－3aa＋b＝2且－aa＋3aa＋b＝6，得a＝1，b＝4，∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)．8．已知函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(0,2)B．[2，＋∞)C.12，＋∞D.0，12考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案B解析函数的导数为f′(x)＝1－ax.若函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立，即1－ax≤0，即ax≥1，即a≥x，∵0x≤2，∴a≥2，故选B.9．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a0或a21D．a＝0或a＝21考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案A解析f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当相应一元二次方程的根的判别式Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，此时函数f(x)不存在极值点．故选A.10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为()A.8π9B.16π27C.8π27D.16π9考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案C解析设圆柱的底面半径为R，高为h，则2R＋h＝2(R1)．∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，∴V′＝2πR·(2－3R)．令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝23.当23R1时，V′0，当0R23时，V′0，∴当R＝23时，V取极大值，也是最大值，即当R＝23时，圆柱体积最大，此时h＝23，Vmax＝π×49×23＝8π27，故选C.11．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)0，若ab，则一定有()A．af(a)bf(b)B．af(b)bf(a)C．af(a)bf(b)D．af(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案C解析[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)0，∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵ab，∴af(a)bf(b)．12．若a2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上根的个数为()A．0B．1C．2D．3考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案B解析设f(x)＝13x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，因为a2，所以2a4，所以当x∈(0,2)时，f′(x)0，则f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1×83－4a＋1＝113－4a0，所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y＝12x－sinx，x∈[0,2π]的单调增区间为________________．考点利用导数研究函数的单调性题点不含参数求单调区间答案π3，5π3解析∵y′＝12－cosx，令y′0，∴cosx12，解得π3x5π3.14．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程答案4x－y－3＝015．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线垂直于y轴，则f(x)在[－2,2]上的最大值与最小值之和为________．考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案－8解析∵f(x)＝－x3＋ax－4，∴f′(x)＝－3x2＋a，∵函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴－3＋a＝0，∴a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋3.令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，易知f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,1]上单调递增，在(1,2]上单凋递减．∴最大值为f(－2)＝f(1)＝－2，最小值为f(－1)＝f(2)＝－6.∴最大值与最小值之和为－8.16．若函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在区间13，12上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案54，52解析因为f′(x)＝3x2＋2ax－2，由题意知f′13f′120，即23a－53a－540，解得54a52.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)因为f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知得f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)0，所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程解(1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)－6，即13x－y－32＝0.(2)因为切线与直线y＝－x4＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，所以x0＝±1，所以x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.19．(12分)现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)依题意得y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y＝480000x＋300x(0x≤35)．(2)由(1)知，y′＝－480000x2＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0x≤35时，y′0，所以y＝480000x＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝480000x＋300x取得最小值．答为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．20．(12分)已知函数f(x)＝12ax2＋2x－lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间13，2上是增函数，求实数a的取值范围．考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)函数的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝12ax2＋2x－lnx，当a＝0时，f(x)＝2x－lnx，则f′(x)＝2－1x，令f′(x)＝0，得x＝12，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，121212，＋∞f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝12时，f(x)的极小值为1＋ln2，无极大值．(2)由已知，得f(x)＝12ax2＋2x－lnx，x0，则f′(x)＝ax＋2－1x＝ax2＋2x－1x.若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥12，显然不符合题意；若a≠0，因为函数f(x)在区间13，2上是增函数，所以f′(x)≥0对x∈13，2恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈13，2恒成立，即a≥1－2xx2＝1x2－2x＝1x－12－1对x∈13，2恒成立