文科一轮复习函数单调性与最值

第二节函数的单调性与最值【知识梳理】1.增函数、减函数增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的_____两个自变量x1,x2当x1x2时,都有___________,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有___________,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数任意f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增函数减函数图象2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是_______或_______,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数减函数3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有________(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)对于任意x∈I,都有________(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥M【特别提醒】1.增函数、减函数定义的变式设任意x1,x2∈[a,b]且x1x2,那么(1)⇔f(x)在[a,b]上是增函数.(2)⇔f(x)在[a,b]上是减函数.1212f(x)f(x)0xx＞1212f(x)f(x)0xx＜2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.【小题快练】链接教材练一练1.(必修1P39A组T3改编)函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则()A.mB.mC.mD.m12121212【解析】选B.使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10,即1m.22.(必修1P31例4改编)函数f(x)=在[2,6]上的最大值和最小值分别是.【解析】函数f(x)=在［2,6］上单调递减，所以f(x)min=f(6)=f(x)max=f(2)=答案：2xx12x2(x1)222x1x1x12612615，224.21124,5感悟考题试一试3.(2016·潍坊模拟)若函数f(x)=ax(a0且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在(0,+∞)上是增函数,则a=()1111A.B.C.D.2438x【解析】选B.当a1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不符合题意.当0a1时,则a-1=4,a2=m,符合题意,所以a=.x12144.(2016·济宁模拟)已知函数f(x)=若f(2-x2)f(x),则实数x的取值范围是.3x,x0,lnx1,x0,【解析】函数y=x3在(-∞,0]上是增函数,函数y=ln(x+1)在(0,+∞)上是增函数,且x0时,ln(x+1)0,所以f(x)在R上是增函数,由f(2-x2)f(x),得2-x2x,解得-2x1,所以x的取值范围是(-2,1).答案:(-2,1)5.(2016·德州模拟)函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是.【解析】函数f(x)是由f(x)=logau与u=6-ax复合而成,因为a0,所以u=6-ax为减函数,由题意知f(x)=logau为增函数,即a1,又6-2a0,所以a3,所以1a3.答案:(1,3)考向一判断函数的单调性(区间)【典例1】(1)(2016·济南模拟)函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是()1A.[0]B.a121C.(0)[)D.aa12，［，］，，［，］(2)(2015·上海高考改编)判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1a3)在x∈[1,2]上的单调性.【解题导引】(1)根据函数的图象,利用复合函数的单调性的判断方法,确定函数的单调递减区间.(2)利用定义法或导数法进行判断.1x【规范解答】(1)选B.由图象知f(x)在(-∞,0]和上单调递减,而在上单调递增.又因为当0a1时,y=logax为(0,+∞)上的减函数,所以要使g(x)=f(logax)单调递减,需要logax∈即0≤logax≤解得x∈1[)2，1[0]2，1[02，]，12，a1.［，］(2)设1≤x1x2≤2，则f(x2)-f(x1)=由1≤x1x2≤2，得x2-x10，2x1+x24，1x1x24，22212111axaxxx2112121(xx)[axxxx]，12111.xx4又因为1a3，所以2a(x1+x2)12，得a(x1+x2)-0，从而f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在［1,2］上单调递增.121xx【一题多解】因为f′(x)=而x∈[1,2],所以又因为a∈(1,3),所以22ax12,故即f′(x)0,故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.212axx，2111x4，212ax0x，【母题变式】1.若将本例题(1)中的“0a1”改为“a1”,则函数g(x)的单调递减区间如何?【解析】由典例1(1)解析知,需logax≤0或logax≥解得x≤1或x≥又因为x0,所以单调递减区间为(0,1],12，a，a).［，2.在本例题(1)中,将所求结论改为“若f(x)在[a,+∞)上是减函数,求a的取值范围”.【解析】由图象知f(x)在(-∞,0]和上单调递减,若f(x)在[a,+∞)上是减函数,则[a,+∞)⊆所以1[,)21[,).21a.2【规律方法】1.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是定义区间内的任意两个值,且x1x2.(2)作差、变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.(3)定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.(4)判断:根据定义作出结论.易错提醒:1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则.2.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.【变式训练】(2016·莱芜模拟)函数f(x)=的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(3,+∞)D.(-∞,-3)212log(x9)【解析】选D.函数f(x)=的定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),因为函数y=f(x)是由与t=g(x)=x2-9复合而成,又因为在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-3)上单调递减,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递增.212log(x9)12ylogt12ylogt【加固训练】1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=D.f(x)=-|x|1x1【解析】选C.当x0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为减函数,当x∈时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.3(0)2，3()2，1x12.函数y=x-|1-x|的单调增区间为.【解析】y=x-|1-x|=作出该函数的图象如图所示,由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1].答案:(-∞,1]1x1,2x1,x1.，＜3.判断并证明函数f(x)=(其中a0)在x∈(-1,1)上的单调性.2axx1【解析】方法一(定义法):设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=因为-1x1x21,所以x2-x10,x1x2+10,(-1)(-1)0.122212axaxx1x1221212122212axxaxaxxax(x1)(x1)21122212a(xx)(xx1).(x1)(x1)21x22x因此,当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数.方法二(导数法):f′(x)=又因为a0,所以f′(x)0,所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数.2222222a(x1)2axa(x1).(x1)(x1)考向二求函数的最值(值域)【典例2】(1)函数y=的最小值为.(2)函数y=的值域为.【解题导引】(1)利用换元法求解.(2)采用分离变量法,即将分子变为2(x2-x+1)+1的形式,转化后求解.xx1222x2x3xx1【规范解答】(1)令t≥0,则x=t2+1,所以y=t2+t+1=当t≥0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1.答案:1x1t，213(t)24，(2)因为x2-x+1=所以故值域为答案：2222x2x31y2.xx1xx1213(x)24，211022.xx1310(2,].310(2,]3【一题多解】解答本例题(2),你知道几种解法?解答本题,还有以下解法:去分母,整理,得(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.当y≠2时,上式可看成是关于x的二次方程.若方程有实根,则Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-3)≥0,解得102y.3当y=2时,方程无解.所以函数的值域为答案:10(2,].310(2,]3【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误:题目利用换元法求函数的最小值,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数最小值缩小而致误.【规律方法】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.【变式训练】用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.【解析】在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示,由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.答案:6【加固训练】1.函数f(x)=的最大值为.21,x1,xx2,x1＜【解析】当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.答案:21x2.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.a,ab,b,ab.＞【解析】依题意,h(x)=当0x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x2时,h(x)=3-x是减函数,所以h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.答案:12logx,0x2