反比例函数知识点总结及练习题

1反比例函数知识点1反比例函数的定义一般地，形如xky（k为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是0x的一切实数，函数值的取值范围是0y；⑶比例系数0k是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：①xky（0k），②1kxy（0k），③kyx（定值）（0k）；⑸函数xky（0k）与ykx（0k）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。（k为常数，0k）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky，就不是反比例函数了。知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky（0k）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x，函数值0y，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：2反比例函数xky（0k）k的符号0k0k图像性质①x的取值范围是0x，y的取值范围是0y②当0k时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是0x，y的取值范围是0y②当0k时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如xky在第一、第三象限，则可知0k。☆反比例函数xky（0k）中比例系数k的绝对值k的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则OEPFSPEPFyxxy矩形k☆反比例函数xky（0k）中，k越大，双曲线xky越远离坐标原点；k越小，双曲线xky越靠近坐标原点。☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。例题【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？3【答案】由反比例函数的定义，得：01222kkk解得0211kkk或1k【例2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210xxx则下列各式正确的是（A）A．213yyyB．123yyyC．321yyyD．231yyy【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。知识点一：反比例函数的定义例1：在下列函数中，是反比例函数的是。（1）3xy；（2）131xy；（3）xy2；（4）2211xy；（5）xy23；（6）21xy；（7）28xy；（8）1xy；（9）2xy；例2：当m取何值时，1222mmxmmy是关于x的反比例函数？并求出其表达式。知识点二：反比例函数表达式的确定例3：由欧姆定律可知：电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例。已知电压保持不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。（1）求I与R的函数关系式；（2）当R=5欧姆时，求电流强度。重点一：反比例函数与其他函数的综合应用例1：已知21yyy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，并且当x=2时，4y；当1x时，5y.求y与x的函数表达式。4重点二：反比例函数的实际应用例2：水产公司有一种海产品工艺2104千克，为寻求合适的销售价格，公司进行了8天的试销，试销情况入下：售价x（元/千克）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天400250240200150125120销售量y/千克304048608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系。现假设这批海产品每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）都满足这一关系。（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？练习：1.已知函数7222kkxkky是关于x的反比例函数，求k的值。2.已知定A（1，-k+2）在双曲线xky上，求常数k的值。4、正比例函数011kxky与反比例函数022kxky的图象交于A、B两点，点A坐标为（2,1）.(1)求正比例函数、反比例函数的表达式（2）求点B的坐标。55、已知21yyy，1y与x成反比例，2y与2x成正比例，且当x=-1时，5y；当1x时，1y.求y与x的函数表达式。6、已知一次函数0kbkxy和反比例函数xky2的图象交于点A（1,1），求两个函数的解析式。7、已知正比例函数0kkxy和反比例函数xmy的图象交于点（4，2）。（1）求两个函数的解析式。（2）这两个函数图象还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标，若没有，请说明理由。知识点一：反比例函数的图象例1：反比例函数反比例函数2213mxmy的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求反比例函数的解析式。例2：在反比例函数xmy21的图像上有A（11,yx），B（22,yx）两点，当210xx时，有21yy，则m的取值范围是。6知识点二：反比例函数的性质例3：设A（11,yx），B（22,yx）反比例函数xy3的图象上的任意两点，且21yy，则21,xx可能满足的关系是（）A、021xxB、210xxC、120xxD、012xx知识点三：反比例函数0kxky中k的几何意义说明：在反比例函数0kxky的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量。例3：如图，直线OA与妇女比例函数0kxky的图象在第一象限内交于点A，AB⊥x轴于点B,△OAB的面积为2，则k=。练习：如右图，若点A在反比例函数0kxky的图象上，AM⊥x轴于点M,△OAM的面积为3，则k=。重点：反比例函数和一次函数的综合应用例1：在同一平面直角坐标系中，函数baxy和0abxaby的图象大致是（）练习：已知0k，在同一平面直角坐标系中，函数1xky和xky的图象大致是（）xBOyAMOxAyxAOyxBOyxOCyxODyxBOyxAOyxOCyxDOy7例2：已知反比例函数xky的图象与一次函数mxy3的图象相交于（1,5）。（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数的另一个交点的坐标。练习：1、已知点M（-2,3）在双曲线xky上，则下列各点一定在双曲线上的是（）A、（3，-2）B、（-2，-3）C、（2，3）D、（3，2）2、已知，反比例函数0kxky的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知点A的坐标为（-2,1），那么点B的坐标为。3、已知，一次函数为常数mmxy1的图象与反比例函数02kkxky为常数，的图象相交于A（1,3）。（1）求这两个函数的解析式及图象的另一交点B的坐标；（2）观察图象，写出使函数值21yy的自变量x的取值范围。4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数1kxy的图象与反比例函数xy3的图象在第一象限相交于点A。过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B、C。如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的解析式。xAOyBxAOyB8反比例函数综合检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1、反比例函数y＝xn5图象经过点（2，3），则n的值是（）．A、－2B、－1C、0D、12、若反比例函数y＝xk（k≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（）．A、（2，－1）B、（－21，2）C、（－2，－1）D、（21，2）3、已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）4、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（）．A、成正比例B、成反比例C、不成正比例也不成反比例D、无法确定5、一次函数y＝kx－k，y随x的增大而减小，那么反比例函数y＝xk满足（）．A、当x＞0时，y＞0B、在每个象限内，y随x的增大而减小C、图象分布在第一、三象限D、图象分布在第二、四象限6、如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y＝x1于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（）．A、逐渐增大B、逐渐减小C、保持不变D、无法确定7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ＝Vm，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）．A、1.4kgB、5kgC、6.4kgD、7kg8、若A（－3，y1），B（－2，y2），C（－1，y3）三点都在函数y＝－x1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）．A、y1＞y2＞y3B、y1＜y2＜y3C、y1＝y2＝y3D、y1＜y3＜y29、已知反比例函数y＝xm21的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是（）．Qpxyot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)OA．B．C．D．9A、m＜0B、m＞0C、m＜21D、m＞2110、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（）．A、x＜－1B、x＞2C、－1＜x＜0或x＞2D、x＜－1或0＜x＜2二、填空题（每小题3分，共30分）11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的函数关系式为.12、已知反比例函数xky的图象分布在第二、四象限，则在一次函数bkxy中，y随x的增大而（填“增大”或“减小”或“不变”）．13、若反比例函数y＝xb3和一次函数y＝3x＋b的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b＝．14、反比例函数y＝（m＋2）xm2－10的图象分布在第二、四象限内，则m的值为．15、有一面积为S的梯形，其上底是下底长的31，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是．16、如图，点M是反比例函数y＝xa（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影＝5，则此反比例函数解析式为．17、使函数y＝（2m2－7m－9）xm2－9m＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y随x的增大而减小，则可列方程（不等式组）为．18、过双曲线y＝xk（k≠0）上任意一点引x轴和y轴的垂线，所得长方形的面积为______．19.如图，直线y＝kx(k＞0)与双曲线xy4交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y