相关系数的计算公式是怎样得来的

一相关系数的计算公式一飞已弓已弓已护因是怎样得来的。二中国人民大学统计学院黄运成二艺一了艺〔。一尸了〕公。一名,一了艺一一了……式中的刀为名之略,下同·,’十,,’上式中的尹飞相关系数的计算公式,在电视讲座教材中已有解释,如果知道了它的推导过程,理解就会更加深刻。现以简单直线相关为例。一、总误差及总误差平方和的分解设为自变量,为因变量,和分别为和的第个观察值,、为通过以下简单线性回归方程而求得的的第个估计值。。,,…………令观察值与其平均数了之间的离差‘一了为总误差,它可作如下分解名,一,,一丁二万,一一了。艺一歹名,一歹。一了艺。一沁二名一名艺‘一艺。一丁名,一艺……从电视讲座教材下册第工数、的求解方程组为,艺二刀‘、‘乙飞页可知,直线回归方程参,一歹二,一,,一了,一,十,一了”一图示如下今,由式一可得艺名,二名,即名一艺“············“·“····“·…由式可得艺名,。二安,即艺汉一名汉·············……以式与式代入式得名一‘一,将此结果代入式有汤一耘。,兮》‘一刀笋‘一刀‘一刀一……—二一’’口丫芍、式中,艺一为总误差平方和,刀‘一为可以解释的误差平方和,艺一为不可以解释的误差平方和,因此式可用文字表达如下总误差平方和可以解释的误差平方和不可以解释的误差平方和。如用刀一,除式两边,得、了且二、岁占一目‘一刁卜‘由上图可见,一了是点,,与点,了之间的垂直距离,即总误差。一丁是回归线上的点,筑与点,丁之间的垂直距离,即回归线与丁的偏差,它是由自变量的变动所造成的,因此称为可以解释的误差。一,是点、,与回归线上的点,、之间的垂直距离,它是随机因素的影响所造成的,因此称为不可以解释的误差,或随机误差有时也叫残差。因此,总误差可以解释的误差十不可以解释的误差将式两边平方然后求和,有月名一艺一,,。、,,二二曰号,二二次一公”’一、石一令,兰乙一一一一释能力越强,也就说明了与之间的相关程度越大。一是非测定系数,它代表不可以解释的误差平方和在总误差平方和中所占比例,这个值越小,说明回归方程的估计效果越好。二、相关系数的导出将测定系数开平方即得相关系数,二艺。一万一告“‘“一斋“五名‘护‘‘斋““盛二斋“。,一艺x,:y。)分母中的刀(x:一万)’二刀(x于一2了x。+了’)。。r二*丫:(蒸一了):刀(y、一节)“二“·‘一2(夸)“一,(夸)r的符号有正有负,与b的符号是一致的。这是因为在y;二a十bx。中,若b为正,则随着x.的增加,y;也不断增加,两者呈同向变动,若b为负,则随着x,的不断增加,y*不断减少,两者呈反向变动。y,是y,的估计值,其变动方向与y;一致,因此b的正负也反映了为与y;之间的变动方向。理解了这个道理,就不难明白,的推导过程了。以n除(5)式两边得:y=a十b示一(11)用(1)式减(11)式,得:y:一y=(a+X;)一(a+bx)“b(x、一x)..················……(12)将(12)式两边平方然后求和,得:乙(y;一y)2=bZ名(x;一天)2……(13)将(13)式代入rZ的公式内,得:一艺x:一2·告(“x!)2·斋(“x!):一“x!一告(“xi)2=告〔二“x:一(艺x!):〕砚硼,“‘yi一朴:一斋〔n“y卜(:x·):〕将以上结果代入(14)式可得::=一理坚止j卫红匕亚丫名(x)丁石兀石不不矛告厂。:x;y一(:x;)(:y;)介=7了万斗斗—一一一‘一尘~一V万In乙x卜(刀x盈)“l会}n艺y卜(乙y;)21~、尸“、.尹含〔n“x应y:一(:x,)(:y,‘)〕r:二~邑至立二工立二-刀(yi一y)2bZ名(x;一x)乙(y*一y)2了奈手获不不砚石不蒜不n艺x:yi一(名x。)(艺y,),.’b二刀(x;一x)y)(见电视讲座教斌〔n刀交子一(刀x:)2〕〔n名y管一(名y,)〕寥入少材下册第172页)._:_bZ艺(x即:r·n刀x,y,一(艺x。)(公y。)杯亚又不了葱币万侧亚砰忿夜贡产x)》匕,暇翔哎落七功晓:帐U外材外“共”Ž代”M八Ž我翻斑月U八U开”U科”†瀚”M娜”们湃”材我”以姗†初八材外。名(x、一沙黑黑翼黑篡黑署军黑黑装舞本刊启事骊从洲Ž残姗姗什树羚”娜践赫羚M外”Š践”娜践”姑线树姚”杯抖”树抖洲钟料曰姚翻料、另(y:一了j’「些鉴客迎军皿门气山气Xs一X少“尸名(y:一〔艺(x;一了)(y,一丁)〕’艺(x;一夭)2艺(y、一丁)“刀(x;一了)(y,一了曰一一一y材公(x,一了)“艺(y。一相关系数还有一种简捷计算法,(14)式中,分子为:……(14)其推导过程如下:艺(x;一万)(y*一丁)=名(x‘y;一万y。一了、x,+丁丁)=:x:y,一(圣竺七、:y‘一:x,(旦红~)、n/、n/+n·(夸)(冬)一、1984年1一4月仍继续举办社会经济统计学原理电视讲座辅导,刊登各章重点、难点的解释、期末考试的答案,以及如何巩固和提高统计学知识的文章等。二、读者对有关社会经济统计学原理电视讲座教材的意见,本刊一律转送各位主讲人参考,恕不一一答复。义篡淮盆黑滓红迄裂二狱津聋津芝苏《篇匕洛盆落盆净叮:考签,盆篇匕祷一24一