多自由度结构的自由振动

110-7多自由度结构的自由振动一.多自由度体系运动方程的建立建立多自由度体系的运动方程的两种基本方法：(1)列动力平衡方程，即刚度法；(2)列位移方程，即柔度法。刚度法：刚度法：取质点为隔离体，列平衡方程。每个质点上一般受有惯性力、阻尼力及弹性恢复力。若结构有n个自由度，则有n个平衡方程。柔度法柔度法：以整个结构体系为研究对象，列位移方程，并认为该位移是由惯性力及阻尼力所产生的。若结构有n个自由度，则有n个位移条件方程。2两个自由度体系的自由振动)(1ty)(2ty111ymI&&−=222ymI&&−=柔度法柔度法以整个结构体系为研究对象，列位移方程，并认为该位移是由惯性力所产生的。111δ21δ112δ22δ2121111IIyδδ+=2221212IIyδδ+=不计阻尼影响3柔度法——列位移方程0221211111=++ymymy&&&&δδ0122211212=++ymymy&&&&δδ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧000021212221121121yymmyy&&&&δδδδ0YδMY=+&&n阶对称方阵n阶对角方阵柔度矩阵质量矩阵4⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧00000212121222211121121Μ&&Μ&&&&ΛΛΛΛΛΛΛΛΜnnnnnnnnnyyymmmyyyδδδδδδδδδn个自由度体系运动方程0YδMY=+&&5一般说来在任何一个质量上，包含有：惯性力和弹性力二、刚度法——列平衡方程取质量为隔离体取质量为隔离体imiIiS)(1ty)(2ty111ymI&&−=222ymI&&−=对于多自由度体系中的每一个自由度，动力平衡条件可写成：0111=+−Sym&&0222=+−Sym&&6一、刚度法——列平衡方程)(1ty)(2ty111ymI&&−=222ymI&&−=111k11k212k22k)(2121111ykykS+−=)(2221212ykykS+−=7两个自由度体系的动力方程0111=+−Sym&&0222=+−Sym&&)(2121111ykykS+−=)(2221211ykykS+−=021211111=++ykykym&&022212122=++ykykym&&⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡000021212122211211yymmyykkkk&&&&0YMKY=+&&80=+YMKY&&K=−1δ0=δ+YMY&&左乘，则有1−δ01=+δ−YMY&&比较柔度法柔度法刚度法刚度法9按柔度法求解方程⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧000021212221121121yymmyy&&&&δδδδ0YδMY=+&&设上式的特解取如下形式)sin(ϕω+=tAyii)2,1(=i即设所有质量都按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同。10)cos(ϕωω+=tAyii&)sin(2ϕ+ωω−=tAyii&&0=δ+YMY&&并消去公因子，可得)tsin(ϕ+ω按柔度法求解方程0)1(2212212111=+−AmAmωδωδ0)1(2222212211=−+AmAmωδωδ振幅方程（位移方程）振幅方程（位移方程）11振幅方程（位移方程）0)1(2212212111=+−AmAmωδωδ0)1(2222212211=−+AmAmωδωδ关于A1、A2的齐次线行代数方程。矩阵形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−0011212222221121222111AAmmmmωδωδωδωδ12振幅方程（位移方程）⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−0011212222221121222111AAmmmmωδωδωδωδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2100mmM⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211δδδδδ21ωλ=()0=−AIδMλ1112121212220mmmmδλδδδλ−=−用柔度系数表示的两个自由度体系的频率方程：振幅列向量单位矩阵如果运动方程存在非零解，则上式系数行列式等于零，即0A≠0=−IδMλ频率方程频率方程1301122221212122111=−−ωδδδωδmmmm将其展开()()212112221122221112221112,1412mmmmmmδδδδδδδδλ−−+±+=两个自由度体系的频率111λ=ω221λ=ωλλ14按刚度法求解方程⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡000021212122211211yymmyykkkk&&&&设上式的特解取如下形式)sin(ϕω+=tAyii)2,1(=i即设所有质量都按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同。0=+YMKY&&15)cos(ϕωω+=tAyii&)sin(2ϕ+ωω−=tAyii&&并消去公因子，可得)tsin(ϕ+ω按刚度法求解方程0=+YMKY&&0)(0)(2222212121211211=ω−+=+ω−AmkAkAkAmk0)(2=−AMKω振幅方程（位移方程）振幅方程（位移方程）16频率方程为0222212121211=ω−ω−mkkkmk展开上式0)(2121122211222211122=−+ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−ωmmkkkkmkmk用刚度系数表示的两个自由度体系的频率方程2121122211222211122221112,124121)(mmkkkkmkmkmkmk−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=ω17两个自由度体系有两个自振频率1ω将任一个kω)sin(ϕω+=tAyii)sin()()(kkkikitAyϕω+=),,2,1(niΛ=体系自振频谱、运动方程特解即得特解为nωωωΛ,,212ωn个自由度体系有n个自振频率若按它们的数值由小到大由小到大依次排列，则分别称为第一、第二、…、第n频率，并称为体系自振频谱。nωωωΛ2118当结构按频率谱中某频率作自由振动时，其变形当结构按频率谱中某频率作自由振动时，其变形形状保持不变，这种变形形状称结构的形状保持不变，这种变形形状称结构的主振型主振型，，简称简称振型振型..此时各质点按同一频率作同步简谐振动kω)sin()()(kkkikitAyϕω+=),,2,1(niΛ=19)sin()()(kkkikitAyϕω+=),,2,1(niΛ=)(2)(1)(2)(1kkkkAAyy=体系自振频谱、运动方程特解两个自由度体系，两个质点的位移相互间的比值始终保持不变。=常数各质点的位移相互间的比值不随时间而变化，也就是说在任何时刻体系的振动都保持同一形状，整个体系就像一个单自由度体系一样在振动。体系的主振型不随时间而变化，即在任何时刻体系的振动都保持同一形状。20结构振动的快慢用结构振动的快慢用自振频率自振频率来描述；来描述；结构振动方式的数目等于体系自由度数；结构振动方式的数目等于体系自由度数；自振频率的顺序排列称自振频率的顺序排列称频率谱频率谱；；频率谱中最小的一个频率称频率谱中最小的一个频率称基本频率基本频率21确定相应的两个主振型。求第一振型：1ωω=01)1(2212)1(121111=δ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ω−δAmAm用柔度系数表示的两个自由度体系主振型计算振幅方程由于系数行列式为零，所以两个方程线性相关，只有一个是独立的，可由其中任何一式求得与的比值如由第一式)1(1A)1(2A振幅方程为01221212111=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−AmAmδωδ01222221121=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+AmAmωδδ01122221212122111=−−ωδδδωδmmmm1ω2ω22标准化振型向量为）（121211121)1(11⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=mmAδδω振型矩阵21211121)1(1)1(211mmAAδδωρ−==称为第一主振型01)1(2212)1(121111=δ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ω−δAmAm2321211122)2(1)2(221mmAAδδωρ−==标准化振型向量为振型矩阵同理可求得第二振型为）（221211122)2(11⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=mmAδδω2ωω=振幅方程称为第二主振型240)(0)(2222212121211211=ω−+=+ω−AmkAkAkAmk振幅方程为用刚度系数表示的两个自由度体系主振型的计算确定相应的两个主振型。求第一振型：1ωω=振幅方程由于系数行列式为零，所以两个方程线性相关，只有一个是独立的，可由其中任何一式求得与的比值如由第一式)1(1A)1(2A0)()1(12)1(1211211=+−AkAmkω0222212121211=ω−ω−mkkkmk1ω2ω251211121)1(1)1(21kkmAA−ω==ρ1211122)2(1)2(22kkmAA−ω==ρ两振型的标准化振型向量为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=1211121)1(1kkmAω⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=1211122)2(1kkmAω频率、振型计算公式同理26例1：求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系数P=1P=132l32lEIl243432211==δδEIl486732112==δδ2)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmmδδδδδδδδλ−−+±+=2)(4)2(222122112111112mmmδδδδλ−−±=mm121112δδλ±=mm121112δδλ±=EImlmm31211148615=+=δδλEImlmm3121124861=−=δδλ322311221,69.51mlEImlEIλωλω==求得频率：求得主振型：1111112121211=−−=λδδmmAA)()(1121112122221−=−−=λδδmmAA)()(mm27（1）体系按第一频率振动时，两质量始终保持同向且相等的位移，其振型是正对称的；（2）体系按第二频率振动时，两质点的位移是等值而反向，其主振型是反对称的。由振型计算结果可知：若结构的刚度和质量分布都是对称的，则其主振型不是正对称便是反对称的。因此，求自振频率时，可以分别就正、反对称的情况取一半结构来进行计算28利用对称性求频率及主振型m1111δω=图1M图2M⎭⎬⎫⎩⎨⎧=11)1(A⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=11)2(Am1121δω=29利用对称性求频率及主振型m1111δω=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=11)1(Am1121δω=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=11)2(A30利用对称性求频率及主振型m1111δω=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=11)1(Am1121δω=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=11)2(A31试求图示结构的自振频率l/2l/2looEA=EImmEI1l21532l316l反对称半结构正对称半结构利用对称性求频率32δ11324=lEI,δ1137768′=lEI,ω1324=EIml,ω137687′=EIml反对称半结构正对称半结构2ω=33例mlll求图示体系的自振频率。各杆EI=常数。34求系数mlllδ1136=lEI/(),31/414.1mlEI=ω12lmlll111/21/2l/2ll/2δ120=,δ2232=lEI/()ω23245=./EIml01122222212122111=−−ωδδδωδmmmm35利用对称性化简求自振频率mm4m1m361反对称半结构正对称半结构M1图M2图111111()δω1112333306547==./(),./EIEIm()δω2221==/(),/EIEIm(1)11A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(2)11A⎧⎫=⎨⎬−⎩⎭37m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k20222221121211=−−=mk