第二单元导数与微分测试题

《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第11页第二单元导数与微分一、填空题1、已知2)3(f，则hfhfh2)3()3(lim0=。2、)0(f存在，有0)0(f，则xxfx)(lim0=。3、1arctanxyx，则1xy=。4、)(xf二阶可导，)sin1(xfy，则y=；y=。5、曲线xey在点处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e的弦平行。6、)]1ln[arctan(xy，则dy=。7、42sinxy，则dxdy=，2dxdy=。8、若txxxttf2)11(lim)(，则)(tf=。9、曲线12xy于点_________处的切线斜率为2。10、设xxey，则_______)0(y。11、设函数)(xyy由方程0)cos(xyeyx确定，则________dxdy。12、设tytxcos12则________22dxyd。二、单项选择1、设曲线xy1和2xy在它们交点处两切线的夹角为，则tan=（）。（Ａ）1；（Ｂ）1；（C）2；（Ｄ）3。3、函数xkexftan)(，且ef)4(，则k（）。（Ａ）1；（Ｂ）1；（C）21；（Ｄ）2。4、已知)(xf为可导的偶函数，且22)1()1(lim0xfxfx，则曲线)(xfy在)2,1(处切线的方程是。（Ａ）64xy；（Ｂ）24xy；（C）3xy；（Ｄ）1xy。《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第12页5、设)(xf可导，则xxfxxfx)()(lim220=。（Ａ）0；（Ｂ）)(2xf；（C）)(2xf；（Ｄ）)()(2xfxf。6、函数)(xf有任意阶导数，且2)]([)(xfxf，则)()(xfn=。（Ａ）1)]([nxfn；（Ｂ）1)]([!nxfn；（C）1)]()[1(nxfn；（Ｄ）2)]([)!1(xfn。7、若2)(xxf，则xxfxxfx)()2(lim000=（）（Ａ）02x；（Ｂ）0x；（C）04x；（Ｄ）x4。8、设函数)(xf在点0x处存在)(0xf和)(0xf，则)()(00xfxf是导数)(0xf存在的（）（Ａ）必要非充分条件；（Ｂ）充分非必要条件；（C）充分必要条件；（Ｄ）既非充分又非必要条件。9、设)99()2)(1()(xxxxxf则)0(f（）（Ａ）99；（Ｂ）99；（C）!99；（Ｄ）!99。10、若)(uf可导，且)(2xfy，则有dy（）（Ａ）dxxfx)(2；（Ｂ）dxxfx)(22；（C）dxxf)(22；（Ｄ）dxxfx)(22。11、设函数)(xf连续，且0)0('f，则存在0，使得（）（A）)(xf在),0(内单调增加；（B）)(xf在)0,(内单调减少；（C）对任意的),0(x有)0()(fxf；（D）对任意的)0,(x有)0()(fxf。12、设001sin)(2xbaxxxxxf在0x处可导，则（）（A）0,1ba；（B）ba,0为任意常数；（C）0,0ba；（C）ba,1为任意常数。三、计算解答《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第13页1、计算下列各题（1）xey1sin2，求dy；（2）3lntytx，求122tdxyd；（3）yyxarctan，22dxyd；（4）xxycossin，求)50(y；（5）xxxy)1(，求y；（6）)2005()2)(1()(xxxxxf，求)0(f；（7）)()()(xaxxf，)(x在ax处有连续的一阶导数，求)()(afaf、；（8）设)(xf在1x处有连续的一阶导数，且2)1(f，求)1(coslim1xfdxdx。2、试确定常数ba,之值，使函数0102)sin1()(xexaxbxfax处处可导。3、证明曲线ayx22与bxy（ba,为常数）在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数)(xf对任意实数21,xx有)()()(2121xfxfxxf，且1)0(f，证明)()(xfxf。6、求曲线5323xxy上过点)3,1(处的切线方程和法线方程。《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第14页第二单元导数与微分测试题详细解答一、填空题1、11)3(21)21()3()3(lim2)3()3(lim00fhfhfhfhfhh2、)0(f)0(0)0()(lim)(lim00fxfxfxxfxx3、xln1lnxyxxyxln|14、xxfcos)sin1(，xxfxxfsin)sin1(cos)sin1(2xxfycos)sin1(，xxfxxfysin)sin1(cos)sin1(25、)1),1(ln(ee弦的斜率1011eek1)(eeeyxx)1ln(ex，当)1ln(ex时，1ey。6、])1(1[)1arctan(2xxdx)1()1(11)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12xdxxxdxdy])1(1[)1arctan(2xxdx7、432sin4xx，422sin2xx433442sin44cossin2xxxxxdxdy4222sin22xxxdxdydxdy8、tttee222ttxxtexttf22)11(lim)(ttteetf222)(9、)2,1(xy2，由220x10x，21120y12xy在点)2,1(处的切线斜率为210、2xxxeey，xxxxeeey2)0(00eey《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第15页11、)sin()sin(xyxexyyeyxyx方程两边对x求导得0)')(sin()'1(xyyxyyeyx解得)sin()sin('xyxexyyeyyxyx。12、34cossintttt由参数式求导公式得ttxydxdytt2sin''，再对x求导，由复合函数求导法得32224cossin21sincos21'')'()'(tttttttttxyydxddxydttxx。二、选择题1、选（Ｄ）由21xyxy交点为)1,1(，1|)1(11xxk，2|)(122xxk3|1||)tan(|tan211212kkkk3、选（Ｃ）xxkexfkxk21tansectan)(由ef)4(得eke221k4、选（A）由xfxfxfxfxx2)1()1(lim2)1()1(lim002)21()1()21()1()1(lim0fxfxfx4)1(f切线方程为：)1(42xy即64xy5、选（Ｄ）)()(2])([)()(lim2220xfxfxfxxfxxfx6、选（Ｂ）)(2)()(2})]({[)(32xfxfxfxfxf)(32)()(32])(2[)(423xfxfxfxfxf设)(!)(1)(xfnxfnn，则)()()!1()()1(xfxfnxfnn)()!1(2xfnn《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第16页)(!)(1)(xfnxfnn7、选（Ｃ）)(22)()2(2lim)()2(lim0000000xfxxfxxfxxfxxfxx又xxxf2)()(2，004)(2xxf8、选（Ｃ）)(xf在0x处可导的充分必要条件是)(xf在0x点的左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等。9、选（Ｄ）)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(xxxxxxxxxxxf)98()2)(1(xxxx!99!99)1()990()20)(10()0(99f另解：由定义，)99()2)(1(lim0)0()(lim)0(00xxxxfxffxx!99!99)1(9910、选（Ｂ）)(2)()(])([2222xfxxfxfdxxfxdy)(2211、由导数定义知0)0()(lim)0('0xfxffx，再由极限的保号性知,0当),(x时0)0()(xfxf，从而当)),0()(0,(xx时，)0(0)0()(fxf，因此C成立，应选C。12、由函数)(xf在0x处可导，知函数在0x处连续bbaxxfxxxfxxxx)(lim)(lim,01sinlim)(lim00200，所以0b。又axaxxfxffxxxxfxffxxx0)0()(lim)0(,01sinlim0)0()(lim)0(0200，所以0a。应选C。《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第17页三、计算解答1、计算下列各题（1）dxxxxexdedyxx)1(1cos1sin2)1(sin21sin21sin22dxexxx1sin222sin1（2）32313tttdxdy，3222919tttdxyd，9|122tdxyd（3）两边对x求导：yyy211112yy)11(2)1(2223233yyyyyyy（4）xxxy2sin21cossin)22sin(2cosxxy)222sin(2)22cos(2xxy设)22sin(21)(nxynn则)2)1(2sin(2)22cos(2)1(nxnxynnnxxy2sin2)2502sin(24949)50(（5）两边取对数：)]1ln([lnlnxxxy两边求导：xxxxyy11)1ln(ln1]11)1ln([ln)1(xxxxxxyx（6）利用定义：!2005)2005()3)(2)(1(lim)0()(lim)0(00xxxxxfxffxx（7）)()()()(xaxxxf)()(aaf又axaxaxxaxafxfafaxax)()()()(lim)()(lim)(《高等数学》单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第18页)]()()([limxaxaxax)(2)()(aaa[注：因)(x在ax处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]（8）]121)1sin()1(cos[lim)1(coslim11xxxfxfdxdxx121sinlim)1(coslim11xxxfxx1)21()1(f2、易知当0x时，)(xf均