11.3角平分线的性质课件

12.3角的平分线的性质安义县新民中学魏道贵2013年9月28日角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角OBAC平分线。OBAC∠AOC=∠BOC∠AOB=2∠AOC=2∠BOC在△ADC和△ABC中，AD=ABAC=ACDC=BC∴△ADC≌△ABC（SSS）∴∠DAE=∠DAE==尺规作图已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C..3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.DE角平分线有什么性质呢？OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEPPPDEDDEE角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED结论：C已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E求证:PD=PEAOBEDPC∵PD⊥OA，PE⊥OB证明：∴∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中∴△PDO≌△PEO（AAS）∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴PD＝PE∵OC是∠AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等)几何语言:角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。EDOABPC1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC4例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？ACDBEE例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN例3：在△OAB中，OE是∠AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。OABECDA0BMNPC1、如图，OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N，△POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。22、如图:△ABC中,∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB∵AD是∠BAC的平分线DC⊥AC，DE⊥AB∴DC=DE在Rt△ABC和中Rt△ABC中BD=DFDC=DEACDBEFRt△ABC≌中Rt△ABC（HL）∴CF=EB3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。求证：△DBE的周长等于AB。ABCDE∵AD是∠BAC的平分线AC⊥BC，DE⊥AB∴DC=DE在Rt△ACD和中Rt△AED中DC=DEAD=ADRt△ABC≌中Rt△ABC（HL）∴AC=AE∴△DBE的周长=DB+DE+BE又∵AC=CB=DB+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=ABB思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？角平分线的交点O练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：P在∠A的平分线上。ＤＡＢＣＥＢMNO证明：过点p作pM⊥AB,PN⊥AC,PO⊥BC垂足分别为M,N,O∵BD平分∠CBMPM⊥BMPO⊥CB∴PM=PO同理：PO=PN∴PM=PN又∵PM⊥AMPN⊥AN∴点P在∠A的平分线上P练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABOP知识拓展如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CDBACDE知识拓展已知如图所示，∠B=∠C=90,DM平分∠ADC,AM平分∠DAB,试探究线段BM与CM的关系，说明理由。CMABD解：BM=CM理由：如图作MEAD,∵DM平分∠ADC,AM平分∠DAB，∴EM=CM,EM=BM.∴BM=CM已知△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,BE平分∠ABC,交AC于D，CE⊥BE于E。求证：BD=2CEABCDE∵∠BAC=90，BE⊥CE，∴∠ABD+∠ADB=90∠FBE+∠F=90，∴∠ADB=∠F，在△ABD和△ACF中，∠ADB=∠F∠BAC=∠CAF=90AB=AC∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=CF∵BE平分ABC，∠EBF=∠EBC在△EBF和△EBC中，∠CEB=∠FEB=90BE=BE∠EBC=∠EBF∴△EBF≌△EBC，∴CE=EF∴BD=2CF=2CE证明：延长CE交AB延长线于F，F1、已知：在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点DE⊥AB于E,且DE=DC.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠A=36°,求∠DBC的度数.ABCDE2、如图：∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D,AE与BD相交于C.求证：AC=BC.ODECAB21