湍流模型及其在CFD中的应用

湍流模型及其在CFD中的应用如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反过来影响湍流？一个例子一、湍流及其数学描述1、湍流流动的特征流体实验表明，当Reynolds数小于某一临界值时，流动是平滑的，相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminarflow）。当Reynolds数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。这时，即使是边界条件保持不变，流动也是不稳定的，速度、压力、温度等流动特性都随机变化，这种状态称为湍流（turbulentflow）.湍流流动的两个例子LargerStructuresSmallerStructures观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡（turbulenteddies），简称涡（eddy）。从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随机的。大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流场尺度的千分之一量级，是引起高频脉动的原因。湍流涡的特点涡的生成与耗散大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机械能就耗散为流体的热能。同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡又不断产生，构成了湍流运动。对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是均匀的、各向同性的，可以用经典的统计理论进行分析。但实际上，湍流是不均匀的。湍流是流体力学中的难题湍流的作用由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量，它代表着一种横向交换通量，也可以认为是由于湍流流动引起的一种附加剪切应力——影响动量的输运过程。湍流的存在使传热和传质通量提高。由于湍流会促进这些基本过程，因此对某些物理现象就会产生强烈的影响，如，脉动过程的消衰、均相化学反应率的增加以及液滴蒸发的强化。某些因素会影响湍流的形成。如，当湍流定性尺度和脉动强度非常小时，流体的粘度会直接影响当地的湍流度。当马赫（Mach）数达到5以上时，密度的脉动量与当地的湍流有密切的关系。强烈的化学反应、气流的旋转流动、颗粒的存在以及浮力或电磁场的作用，都会影响当地的湍流结构。外界因素对湍流的影响2、湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N-S方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流动，使用笛卡尔坐标系，速度矢量在x、y和z方向的分量分别为u、v和w，写出湍流瞬时控制方程如下：0divu1div(u)div(grad)upuvutx1div(u)div(grad)vpvvvty1div(u)div(grad)wpwvwtz(1)(2a)(2b)(2c)定义时均量为了考察脉动的影响，目前广泛采用的是时间平均法，即把湍流运动看做由两个流动叠加而成，一是时间平均流动，二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和进一步探讨。现在，引入Reynolds平均法，任一变量的时间平均定义为：ttttttd)(1(3)这里，上标“—”代表对时间的平均值。如果用上标“、”代表脉动值，物理量的瞬时值φ、时均值及脉动值φ’之间的关系如下：时均量与脉动量的关系'(4)现在用平均值和脉动值之和代替流动变量，即：';';';';'pppuuu(5)将（5）代入瞬时状态下的连续性方程（1）和动量方程（2），并对时间取平均，得到湍流时均流动的控制方程如下：湍流时均流动的控制方程0divuzwuyvuxuuvxputu''''')grad(div1)u(div2zwvyvxvuvvypvtv''''')grad(div1)u(div2zwywvxwuwvzpwtw2''''')grad(div1)u(div(6)(7a)(7b)(7c)时均输运方程的统一形式Szwyvxut'''''')grad(div)u(div(8)以上是假设流体密度为常数；但是在实际流动中，密度可能是变化的。Bradshaw等指出，细微的密度变动并不对流动造成明显的影响在此，忽略密度脉动的影响，但考虑平均密度的变化，写出可压湍流平均流动的控制方程如下注意，为方便起见，除脉动值的时均值外，下式中去掉了表示时均值的上划线符号“—”，如用φ表示密度脉动的影响时均形式的连续方程0)u(divt时均形式的N-S方程，又称Reynolds时均N-S方程（简称RANS）wvuSzwywvxwuzpwwtwSzwvyvxvuypvvtvSzwuyvuxuxpuutu)'('''')grad(div)u(div)''(''')grad(div)u(div)''(''')grad(div)u(div222（9）（10）湍流输运方程组标量的时均输运方程Szwyvxut''''''graddiv)u(div)(（11）湍流输运方程组张量形式的时均输运方程SuxxxutSuuxuxxpuuxutuxtjjjjjijijijijiiiii''''0（12）（13）（14）二、湍流的数值模拟方法简介1、三维湍流数值模拟方法的分类湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理，例如前面提到的时均性质的Reynolds方法就是其中的一种典型方法。根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。2、直接数值模拟（DNS）简介直接数值模拟方法就是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行计算，其最大的好处是无需对湍流流动做任何简化或近似，理论上能得到相对准确的计算结果。但是，DNS要求网格划分的非常细，对计算机内存空间及计算速度要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程计算。3、大涡模拟（LES）简介由于就目前的计算能力而言，能够采用的计算网格的最小尺度仍然比最小涡的尺度要大许多。因此，目前只能放弃对全尺度范围上涡运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从而形成了大涡模拟法（LES）。LES方法的基本思想用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度的涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。LES方法对计算机内存及CPU速度要求仍然很高，但是低于DNS法。4、Reynolds平均法（RANS）简介虽然瞬时N-S方程可以描述湍流，但是N-S方程的非线性使得用解析方法精确描写三维时间相关的全部细节极端困难。从工程应用的观点来看，重要的是湍流所引起的平均流场的变化，是整体效果。Reynolds平均法的核心不是直接求解瞬时的N-S方程，而是想办法求解时均化的Reynolds方程，这样不仅可以避免DNS方法计算量大的问题，而且能够满足工程实践应用要求。Reynolds平均法是目前使用最广的湍流数值模拟方法。Reynolds时均法分类根据Reynolds应力作出的假定或处理的方式不同，目前常用的湍流模型有两类：Reynolds应力模型和涡粘模型。1）Reynolds应力模型Reynolds应力模型包括Reynolds应力方程模型代数应力方程模型2）涡粘模型在涡粘模型中，不直接处理Reynolds应力项，而是引入湍流粘度（turbulentviscosity），或称湍流系数（eddyviscosity），然后把湍流应力表示成湍流粘度的函数，这个计算的关键在于确定这种湍流粘度。Reynolds时均法分类鲍瑟内斯克(Boussinesq)模型最早的湍流数学模型，一百多年前提出的针对二维边界层问题把因湍流引起的、由脉动速度相关联的剪切应力，模仿层流中以时间平均速度的梯度来表达，即建立了tttuuuvvyyijiitijjitjixukxuxuuu32''（15）这里，为湍流粘度，为时均速度，是“Kroneckerdelta”符号（），k为湍流动能（turbulentkineticenergy）：tiuij0;1ijijjiji时，当时，当222'''21uvuk（16）Reynolds应力与平均速度梯度的关系Boussinesq形式在各向同性的前提下模仿层流输运，引入标量的各向同性湍流粘性（涡粘性）系数概念2()3jijiTijijssTjsTjyjTjpTjTjxxYYgYDxxTTqcTxx湍流动力粘度t和湍流运动粘度t与层流中的和不同，后者是物性参数，由物质的分子决定的，而前者由流动特性所决定，依赖于流场中各点的湍流状态Boussinesq并没有直接建立起求解t和t的公式，但从式（15）中可以看出，t或t正比于速度的一种值湍流粘度的特点ijiitijjitjixukxuxuuu32''（15）Reynolds时均方程组通用形式通用变量对各方程分别为1，vi，Ys，cpT等，＝e/为输运系数，为湍流Prandtl数或Schimidt数，e＝＋t＝(+t)为有效粘性系数，t或t称为湍流粘性或涡流粘性系数，S为各方程源项。在各向同性假定的前提下，按照Boussinesq形式，湍流模型或湍流封闭的任务可归结为寻求t或t的表达式或者其输运方程()()()jjjjStxxxBoussinesq建立起式（15）后，关键问题变成如何求得t值，引导出各种求t的数学模型。这些模型分为两大类：早期提出的代数方程模型——只能解释某些简单的流动模型——普朗特于1925年提出的混合长度模型和冯卡门于1930年提出的相似律假设模型微分方程模型数学模型※零方程模型※一方程模型※两方程模型•所谓的涡粘模型，就是把μt与湍流时均参数联系起来的关系式。依据确定μt的微分方程的数量的多少，涡粘模型包括：目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型就是标准k-ε模型，即分别引入关于湍流动能k和湍流耗散率ε的方程。此外，还有各种改进的k-ε模型，其中比较著名的是RNGk-ε模型和Realizablek-ε模型。零方程模型所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是用代数关系式，把湍流粘度