2010年高考数学(理)试题及答案(全国卷I)

中国权威高考信息资源门户绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24SR如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么334VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,)kknknnPkCppkn…一、选择题(1)复数3223ii(A)i(B)i(C)12-13i(D)12+13i(2)记cos(80)k,那么tan100中国权威高考信息资源门户B.-21kkC.21kkD.-21kk(3)若变量,xy满足约束条件1,0,20,yxyxy则2zxy的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{na}，123aaa=5，789aaa=10，则456aaa=(A)52(B)7(C)6(D)42(5)353(12)(1)xx的展开式中x的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)4(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种（7）正方体ABCD-1111ABCD中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为A23B33C23D63（8）设a=3log2,b=In2,c=125,则AabcBbcaCcabDcba(9)已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点p在C上，∠1Fp2F=060，则P到x轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)6（10）已知函数()|lg|fxx,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A)(22,)(B)[22,)(C)(3,)(D)[3,)（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PAPB的最小值为(A)42(B)32(C)422(D)322中国权威高考信息资源门户（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)833绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式2211xx的解集是.(14)已知为第三象限的角，3cos25,则tan(2)4.(15)直线1y与曲线2yxxa有四个交点，则a的取值范围是.(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，cotcotabaAbB且BF2FDuuruur，则C的离心率为.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．)已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C．中国权威高考信息资源门户(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数()(1)ln1fxxxx.（Ⅰ）若2'()1xfxxax，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0xfx.中国权威高考信息资源门户（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FAFB，求BDK的内切圆M的方程.（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列na中，1111,nnaaca.[来源:学*科*网]（Ⅰ）设51,22nncba，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13nnaa成立的c的取值范围中国权威高考信息资源门户年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题1.A2.B3.B4.A5.C6.A7.D8.C9.B10.C11.D12.B二、填空题13.{|02}xx14.1715.5(1,)416.33三、解答题17.解：由cotcotabaAbB及正弦定理得sinsincoscossincoscossinABABAABB从而sincoscossincossinsincos4444AABBsin()sin()44AB又0AB故44AB2AB所以2C18.解：(Ⅰ)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用.则D=A+B·C,中国权威高考信息资源门户()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,PAPBPC()()PDPABC=()()PAPBC=()()()PAPBPC=0.25+0.5×0.3=0.40.(Ⅱ)~(4,0.4)XB，其分布列为：4(0)(10.4)0.1296,PX134(1)0.4(10.4)0.3456,PXC2224(2)0.4(10.4)0.3456,PXC334(3)0.4(10.4)0.1536,PXC4(4)0.40.0256.PX期望40.41.6EX.19.解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,由此知1,DGGCBG即ABC为直角三角形，故BCBD.又ABCD,BCSDSD平面故,所以，BC平面BDS,BCDE.作BKEC,EDCSBCK为垂足，因平面平面，故,BKEDCBKDEDE平面，与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB226SBSDDB中国权威高考信息资源门户22626-,-33EBDBDESESBEB所以，SE=2EB(Ⅱ)由225,1,2,,SASDADABSEEBABSA知22121,AD=133AESAAB又.故ADE为等腰三角形.取ED中点F,连接AF,则226,3AFDEAFADDF.连接FG，则//,FGECFGDE.所以，AFG是二面角ADEC的平面角.连接AG,AG=2,2263FGDGDF,2221cos22AFFGAGAFGAFFG,所以，二面角ADEC的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SCBC设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)由,nSCnBC，得0,0nSCnBC故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)中国权威高考信息资源门户(0)，则2(,,)111E2(,,),(0,2,0)111DEDC设平面CDE的法向量m=(x,y,z)由,mDEmDC,得0mDE，0mDC故20,20111xyzy.令2x，则(2,0,)m.由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,0,20,2mn故SE=2EB（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E，取DE的中点F，则111211(,,),(,,)333333FFA，故0FADE，由此得FADE又242(,,)333EC，故0ECDE，由此得ECDE，向量FA与EC的夹角等于二面角ADEC的平面角于是1cos(,)2||||FAECFAECFAEC所以，二面角ADEC的大小为12020.解：（Ⅰ）11()ln1lnxfxxxx，()ln1xfxxx,题设2()1xfxxax等价于lnxxa.令()lngxxx，则1()1gxx当01x＜＜，'()0gx＞；当1x≥时，'()0gx≤，1x是()gx的最大值点，中国权威高考信息资源门户()(1)1gxg≤综上，a的取值范围是1,.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()(1)1gxg≤即ln10xx≤.当01x＜＜时，()(1)ln1ln(ln1)0fxxxxxxxx≤；当1x≥时，()ln(ln1)fxxxxx1ln(ln1)xxxx11ln(ln1)xxxx0≥所以(1)()0xfx≥21.解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，11(,)Dxy，l的方程为1(0)xmym.（Ⅰ）将1xmy代入24yx并整理得2440ymy从而12124,4yymyy直线BD的方程为212221()yyyyxxxx即222214()4yyyxyy令0y，得1214yyx所以点F(1,0)在直线BD上（Ⅱ）由（