弹性波动力学重点复习题

绪论复习思考题1．什么是弹性体?当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。这类物体称为弹性体。2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。3．弹性动力学的基本假设有哪些?（1）介质是连续的（2）物体是线性弹性的（3）介质是均匀的（4）物体是各向同性的（5）物体的位移和应变都是微小的（6）物体无初应力4．什么是弹性动力学中的理想介质?理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。第二章复习思考题3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。相对体变表示弹性体体积的相对变化。zweywzvezuxweywzveyvexvyuezuxwexvyuexuezzyzzxyzyyxyzxxyxxzwyvxueeezzyyxx4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。)(21)(21)(21yuxvxwzuzvywzyx5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。zzyyxxeee,,分别表示弹性体沿x、y、z方向的相对伸长量；zxyzxyeee,,分别表示平行于坐标面xoy、yoz和xoz的侧面积的角错动量。zyx、、分别表示与坐标面yoz、xoz和xoy平行的侧面积对角线围绕x、y和z轴的旋转角。11．设弹性体内的位移场为jyxiyxs)()(2211，其中2121,,,都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢量及体积膨胀率(相对体变)。解：jyxiyxs)()(221102211wyxvyxu0002121zuxweywzvexvyuezweyvexuezxyzxyzzyyxx应变张量00000021211体积膨胀率21zwyvxueeezzyyxx)(21)(210)(210)(2112yuxvxwzuzvywzyxk)(211212．已知弹性体内的位移场为jxxkiyyks)()(00，其中00,,yxk为已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。解：jxxkiyyks)()(000)()(00wxxkvyyku000000zuxweywzvexvyuezweyvexuezxyzxyzzyyxx应变张量000000000体积膨胀率0zwyvxueeezzyyxxkyuxvxwzuzvywzyx)(210)(210)(21kk反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z轴旋转了一个角度。6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。记为zzyzxzzyyyxyzxyxxxT。14.已知弹性体内一点P处的应力张量由矩阵402050207T给出。试求过点P外法线方向为u=2i-2j+k的面元上的应力矢量np。解：外法线单位矢量为kjikjin31323212222222由nmlPPPzzyzxzzyyyxyzxyxxxnznynx得313232402050207nznynxPPP得4312320327nxP310325nyP0314320322nzP则：jiPn31049244910016nP8.杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义?答：（1）杨氏模量E，是正应力与正应变的比例系数；（2）切变模量，是切应力与切应变的比例系数；（3）拉梅系数，，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形式；（4）压缩模量或体变模量K，表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力间的比例系数；（5）泊松比，表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，故也称横向形变系数。19.已知一各向同性线性弹性体的弹性模量为：杨氏模量E=210Gpa，泊松比为0.28；其中一点处的应变分量为0,8,2,3,xyzzzxyzyyxxeeaeaeaeae，其中a=410，试求拉梅常数,，并写出该点上的应力张量。解：GPaE176183755632.08.58)56.01)(28.01(28.0210)21)(1(GPa322625)28.01(2210体应变aeeezzyyxx2则由应力应变关系GPaexxxx2GPaeyyyy2GPaezzzz2GPaexyxyGPaeyzyzGPaezxzx1．已知一弹性介质内MPa510，位移场为kwjviuS,其中xyzwxzvxyu222试求点P(0,2,-4)处的应变张量、转动向量、体应变以及该点处的应力分量。解：由题可知在P(0,2,-4)点222228xxueyx，440244xyuvexyzyx02xzuweyzx，0yyvey0yzvwexxzy，2248zzwezz则应变张量为84-2400208ije或401002128ije由转动向量1112221110422211102402222xyzijkwvuwvuijzyzzxxyxxiyjzxyzijzjz体应变8080xxyyzzeee由应力应变关系有5562110021081.610xxxxeMPa552110021000yyyyeMPa5562110021081.610zzzzeMPa551104410xyyxxyeMPa511000yzzyyzeMPa551102210zxxzzxeMPa20.将ijijzyxp),,(代入用下标记号表示的运动微分方程iijjiuF..,中，化为矢量方程，并用梯度算子表示。解：由ijijzyxp),,(可知pppzzyyxx000xyyzzx代入运动微分方程222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx得：222222twFxptvFxptuFxpzyx将各式分别乘以单位向量kji、、，相加，得：22tSFp第三章复习思考题3．写出纵波和横波速度的表达式，分析它们之间的大小关系。2PvSv21)1(22SPvv由于210，因此1，即SPvv，可见纵波速度大于横波速度。4．什么叫泊松体?泊松体的拉梅常数、纵横波速度、泊松比各有什么特点?答：41，或者，具有这种性质的物体称为泊松体。对泊松体而言，73.1。14．已知某弹性介质中的P波速度为3600m／s，S波速度1950m／s，求该介质的泊松比。解：13241950360021)1(22SPvv16957621)1(229.040711915．已知弹性介质中杨氏模量为E，泊松比为，求介质的P波速度和S波速度。解：)21)(1()1(22EvP)1(2EvS6．简述地震波在弹性介质中传播的基本规律。答：惠更斯（Huygens）原理：任意时刻波前面上的每一点都可以看作是一个新的波源（子波源），由它产生二次扰动，形成新的波前，而以后的波前位置可以认为是该时刻子波前的包络线。由波前面各点所形成的新扰动（二次扰动）在观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是在该点观测到的总扰动。斯奈尔（Snell）定律：反射波满足反射定律，而透射波满足折射定律（地震学中称透射定律），地震波也遵循这个规律，统称为斯奈尔定律。在界面上，入射波、反射波和透射波的iivpsin值相等，称p为射线参数。7．写出周期、频率、波长、波数、速度各量之间的关系式。Tf1vTvfvTk1110．简述非均匀波的主要特点。答：非均匀波的振幅在空间是变化的，随着空间坐标在变化。不均匀平面波其等相位面与等振幅面互相垂直。16．已知介质1的P波速度为smv/20001，介质2的P波速度为123vv，有一平面简谐P波以入射角30自介质1入射到两介质的分界面上，已知入射波的振幅为iA，频率为30Hz，反射P波和透射P波的振幅分别为rA和tA，试写出这三个波的波函数表达式。解：临界角33sin21vvi，入射角30小于临界角。反射角等于入射角，根据透射定律21sinsinvv，透射角60。平面简谐波函数)cossin(),,,(vzxtjAetzyxf，x轴向右，z轴向下入射波：)400034000(60),,,(zxtjieAtzyxf反射波：)400034000(60),,,(zxtjreAtzyxf透射波：)340004000(60),,,(zxtjteAtzyxf17．已知一简谐P波的波函数为)08.006.0360(zxtjAe，试求以下问题：(1)设x轴向右，z轴向下，请用一经过原点的射线画出此波的传播方向，并标明角度。6.0sin8.0cos(2)这个波的圆频率和圆波数各是多少?在x方向和z方向上的视波数各是多少?圆频率Hz360在x方向和z方向上的视波数08.006.0zxkk圆波数1.03600