学士论文广义逆矩阵的求法探讨

广义逆矩阵的求法探讨theseekingofthedharmaandresearchintogeneralizedinversematrix专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一I摘要本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由Moore-Penrose方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.关键词:广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法IIAbstractThisarticlediscussesthesystemofgeneralizedInversematricesdefined,discussedbytheMoore-PenroseequationisdefinedbythenatureofthevariousGeneralizedinverse,generalizedinversematrixelementarytransformationandfullrankdecomposition,studiedseveralparticulargeneralizedinversematrixcalculatio.Keywords:Generalizedinversematrix;fullrankdecomposition;elimination;elementarytransformation目录摘要..................................................错误!未定义书签。Abstract.................................................错误!未定义书签。0引言...................................................................11广义逆矩阵的概念与定理.................................................82广义逆矩阵的计算方法...................................................82.1广义逆矩阵+A的奇异值分解法.......................................82.2广义逆矩阵+A的最大值秩分解法.....................................92.2极限法求广义逆矩阵+A..............................................92.3广义逆矩阵A的满秩分解法.........................................112.4初等变换法求广义逆矩阵...........................................15参考文献................................................................21第1页,共21页0引言矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义.但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。因此，有必要推广逆矩阵的概念.为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。1广义逆矩阵的概念与定理定义1.1设A是mn的矩阵，若nm的矩阵G满足如下四个Penrose方程的全部或者一部分，则称G为A的广义逆矩阵，简称广义逆.AGAA(1.1)GAGG(1.2)()HGAGA(1.3)()HAGAG(1.4)则称G是A的MoorePenrose逆，记为A.如果某个G只满足（1.1）式，G为A的{1}广义逆，记为GA{1}；如果另一个'G满足（1.1），（1.2）式，则称'G为A的{1,2}广义逆，记为GA{1，2}；如果GA{1，2，3，4}，则G是MoorePenrose逆等.下面介绍常用的5种A{1},A{1,2}，A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下：（1）A{1}中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或g逆，记为A；（2）A{1,2}中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为rA；（3）A{1,3}中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为mA；（4）A{1,4}中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为lA；（5）A{1,2,3,4}：唯一一个，称作加号逆，或MoorePenrose，记为+A.定义1.2设A是mn的矩阵（mn,当mn时，可以讨论TA），若有一个nm第2页,共21页的矩阵（记为A）存在，使下式成立，则称A为A的减号广义逆或者g逆：AAAA(1.5)当A存在时，显然A满足上式，可见减号广义逆A是普通广义逆矩阵A的推广；另外，由AAAA得()().TTTTTAAAAAAA，即可见，当A为A的一个减号广义逆时，()TA就是TA的一个减号广义逆.定义1.3设AmnHrCAA，的特征值为1212n0rrr则称iii1,2r（，…，）为矩阵A的正奇异值，简称奇异值.定义1.4设mn矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，如果mn时存在rankAm；或者当mn时，存在有rankAn，称这两种长方阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）.定义1.5设A是mn矩阵,若有nm矩阵G满足mAGI(或nGAI),则称G为A的右逆(或左逆),记为1RA(或1LA).定理1.1设A是mn的矩阵，则A的MoorePenrose逆存在且唯一.证明先证A的存在性.设A的奇异值分解000HrAUV其中12(,)rrdiag，，，(1,2,)iir，是A的非零奇异值，U与V是酉矩阵.令第3页,共21页000HrGVU容易验证G满足四个Penrose方程，因此A存在.下面证A的唯一性.假定Y也是满足4个Penrose方程，则HHHHHGGAGGGAGGAYAGAGAYHHHHHHGAYGAYAYAGAYYAYYYAYY因此GY,说明A是唯一的，且1000HrAVU若A是非奇异矩阵，容易验证A满足4个Penrose方程，此时AA.由此可见MoorePenrose逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）.定理1.2设mnAC，()rankAr，存在m阶的可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使000rEPAQ则nm阶矩阵G使得AGAA的充分必要条件是122122rEGGQPGG其中122122,,GGG分别是()()()()rmrnrrnrmr，，阶任意矩阵.证明先证必要性，由条件有m阶及n阶可逆矩阵PQ，，使000rEPAQ那么11000rEAPQ根据G应满足的AGAA,有111111000000000rrrEEEPQGPQPQ第4页,共21页11000000000rrrEEEQGP再令1112112122GGQGPGG分块如题设要求，代入上式11122122000000000rrrGGEEEGG11000000rGE所以11rGE,于是有12112122rEGQGPGG得到122122rEGGQPGG再证充分性，由于121121220,00rrEGEGQPAPQGG则1211112122000000rrrEGEEAGAPQQPPQGG11000rEPQA引理1.1对于任意的矩阵A，它的减号逆A总存在，但不唯一，并且111(),;(),;()(),TTTTTTTTAAArankAmAAAArankAnCCCDDDADCA当当当是的满秩分解时；是A的一个减号逆【1，2】.引理1.2对于任意的矩阵A，它的极小范数mA总存在，但不唯一，并且第5页,共21页1(),;(),TTmTTAAArankAmAAAAA当在一般情况下；1(),;(),TTmlTTAAArankAmCDAAA当在一般情况下；是A的一个极小范数逆【1‘2】.引理1.3对于任意矩阵A,它的最小二乘逆lA总存在,但不唯一,并且1(),(),TTlTTAAArankAmAAAA当；在一般情况下；它是A的一个最小二乘逆【1，2】.引理1.4对于任意矩阵A,它的加号逆A总存在，并且唯一.其中1()()TTTTmlAAAAACCCDDD或这里ADC是A的满秩分解式【1，2，3】.定理1.3A是mn矩阵,若A是行满秩矩阵,则总有1()TTmAAAAA；A是列满秩矩阵，则总有()TTlAAAAA；min(,)rankrmn，则总有mlAACD，其中ADC是A的满秩分解式.定理1.4设(),min(,)ijmnAarankrmn则可将A做满秩分解（或A的最大秩分解）ACD其中C是mr阶矩阵，且rankCrankDr.将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解.在各种广义逆的直接计算方法中,几乎都要对矩阵进行满秩分解,例如QU分解等等.但当计算某些广义逆时,QU分解将带来大量非必要的计算,因而有必要对满秩分解的方法进行简化,为此,我们首先用构造性方法证明下述定理.定理1.5对任意矩阵0mnACr,总存在着矩阵mrrBC和矩阵rnrCC，使得ABC成立.第6页,共21页证明设12,,,nAaaa，则必有一个最大线性无关列1ja，2ja，…，jra，故令B=[1ja，2ja，…，jra]于是有非奇异矩阵G，使1IGBO,亦即有11IBGO(1.6)成立，其中o为阶数适当的零矩阵，再另置换矩阵1rkrKjkPI便有IMGAPOO,rrnrM于是由（1）知1IMAGOO，1IPGOIMP=11BC(1.7)其中1CIMP,且显然有mr1rBC，rn1rCC.类似地可证存在着nrnHC和1rkrKjkQI，使有IOQAHNO,mrrNC成立，倘令2IBQN(1.8)12CIOH(1.9)同样有22ABC.特别，若A为行满秩或者列满秩，则B与C中之一为单位阵，定理依然成立.第7页,共21页定理1.6对任何mn的矩阵A，都有()()()()HHHHAAAAAAAAAA()()()()HHHHAAAAAAAAAA性质1.1(1)()rankAn的充分必要条件是nAAE，此时1()HHAAAA,称为A的一个左逆，记为1LA.(2)()rankAm的充分必要条件是mAAE，此时A=H-1()HAAA称为A的一个右逆，记为1RA.证明(1)充分性，若nAAE则()()()nnrankErankArankAAn所以()rankAn必要性，若()rankAn，则存在m阶及n阶可逆矩阵,PQ,使0nEPAQ或110nEAPQ由定理1.2可得r122122G