平面几何中几个重要定理的证明

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平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理1.塞瓦定理及其证明定理:在ABC内一点P,该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F,且D、E、F三点均不是ABC的顶点,则有1ADBECFDBECFA.证明:运用面积比可得ADCADPBDPBDCSSADDBSS.根据等比定理有ADCADCADPAPCADPBDPBDCBDCBDPBPCSSSSSSSSSS,所以APCBPCSADDBS.同理可得APBAPCSBEECS,BPCAPBSCFFAS.三式相乘得1ADBECFDBECFA.注:在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”.2.塞瓦定理的逆定理及其证明定理:在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、ABCDEFPF,且D、E、F均不是ABC的顶点,若1ADBECFDBECFA,那么直线CD、AE、BF三线共点.证明:设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有//1ADBECFDBECFA.因为1ADBECFDBECFA,所以有//ADADDBDB.由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.注:利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证.二、梅涅劳斯定理3.梅涅劳斯定理及其证明定理:一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,则有1ADBECFDBECFA.ABCDEFPD/ABCDEFG证明:如图,过点C作AB的平行线,交EF于点G.因为CG//AB,所以CGCFADFA————(1)因为CG//AB,所以CGECDBBE————(2)由(1)÷(2)可得DBBECFADECFA,即得1ADBECFDBECFA.注:添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”,两次运用相似比得出两个比例等式,再拆去“桥梁”(CG)使得命题顺利获证.4.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理:在ABC的边AB、BC上各有一点D、E,在边AC的延长线上有一点F,若1ADBECFDBECFA,那么,D、E、F三点共线.证明:设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有//1ADBECFDBECFA.因为1ADBECFDBECFA,所以有//ADADDBDB.由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合.即得D、E、F三点共线.ABCDEFD/注:证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律.三、托勒密定理5.托勒密定理及其证明定理:凸四边形ABCD是某圆的内接四边形,则有AB·CD+BC·AD=AC·BD.证明:设点M是对角线AC与BD的交点,在线段BD上找一点,使得DAE=BAM.因为ADB=ACB,即ADE=ACB,所以ADE∽ACB,即得ADDEACBC,即ADBCACDE————(1)由于DAE=BAM,所以DAM=BAE,即DAC=BAE。而ABD=ACD,即ABE=ACD,所以ABE∽ACD.即得ABBEACCD,即ABCDACBE————(2)由(1)+(2)得ADBCABCDACDEACBEACBD.所以AB·CD+BC·AD=AC·BD.ABCDEM注:巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论.这里的构造具有特点,不容易想到,需要认真分析题目并不断尝试.6.托勒密定理的逆定理及其证明定理:如果凸四边形ABCD满足AB×CD+BC×AD=AC×BD,那么A、B、C、D四点共圆.证法1(同一法):在凸四边形ABCD内取一点E,使得EABDAC,EBADCA,则EAB∽DAC.可得AB×CD=BE×AC———(1)且AEABADAC———(2)则由DAECAB及(2)可得DAE∽CAB.于是有AD×BC=DE×AC———(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE).据条件可得BD=BE+DE,则点E在线段BD上.则由EBADCA,得DBADCA,这说明A、B、C、D四点共圆.证法2(构造转移法)ABCDE延长DA到A/,延长DB到B/,使A、B、B/、A/四点共圆.延长DC到C/,使得B、C、C/、B/四点共圆.(如果能证明A/、B/、C/共线,则命题获证)那么,据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆.因此,///ABADABBD,///BCCDBCBD.可得//////ABADBCCDABBCBD.另一方面,///ACADACCD,即///ACADACCD.欲证//ABADBCCDBD=/ACADCD,即证///ABCDADBCCDCDACBDAD即//()BCCDCDACBDABCDAD.据条件有ACBDABCDADBC,所以需证//BCCDCDADBCAD,即证//CDCDADAD,这是显然的.所以,//////ABBCAC,即A/、B/、C/共线.所以//ABB与//BBC互补.由于//ABBDAB,//BBCDCB,所以DAB与DCB互补,即A、B、C、D四点共圆.ABCDA/B/C/7.托勒密定理的推广及其证明定理:如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上,那么就有AB×CD+BC×ADAC×BD证明:如图,在凸四边形ABCD内取一点E,使得EABDAC,EBADCA,则EAB∽DAC.可得AB×CD=BE×AC————(1)且AEABADAC————(2)则由DAECAB及(2)可得DAE∽CAB.于是AD×BC=DE×AC————(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE+DEBD.所以AB×CD+BC×ADAC×BD.四、西姆松定理ABCDE8.西姆松定理及其证明定理:从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线.证明:如图示,连接PC,连接EF交BC于点D/,连接PD/.因为PEAE,PFAF,所以A、F、P、E四点共圆,可得FAE=FEP.因为A、B、P、C四点共圆,所以BAC=BCP,即FAE=BCP.所以,FEP=BCP,即D/EP=D/CP,可得C、D/、P、E四点共圆.所以,CD/P+CEP=1800。而CEP=900,所以CD/P=900,即PD/BC.由于过点P作BC的垂线,垂足只有一个,所以点D与D/重合,即得D、E、F三点共线.注:(1)采用同一法证明可以变被动为主动,以便充分地调用题设条件.但需注意运用同一法证明时的唯一性.(2)反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要ABCPEFD掌握好四点共圆的运用手法.五、欧拉定理9.欧拉定理及其证明定理:设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示.则有G、O、H三点共线(欧拉线),且满足3OHOG.证明(向量法):连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC.则AHOAOH———①因为CD⊥BC,AH⊥BC,所以AH//CD.同理CH//DA.所以,AHCD为平行四边形.从而得DCAH.而OEDC2,所以OEAH2.因为OCOBOE21,所以OCOBAH———②由①②得:OCOBOAOH————③另一方面,GCGBOAGFOAAGOAOG2.而OCGOGCOBGOGB,,所以ABCDOEHOCOBOAOGOBOCGOOAOG312——④由③④得:OGOH3.结论得证.注:(1)运用向量法证明几何问题也是一种常用方法,而且有其独特之处,注意掌握向量对几何问题的表现手法;(2)此题也可用纯几何法给予证明.又证(几何法):连接OH,AE,两线段相交于点G/;连BO并延长交圆O于点D;连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC,如图.因为CD⊥BC,AH⊥BC,所以AH//CD.同理CH//DA.所以,AHCD为平行四边形.可得AH=CD.而CD=2OE,所以AH=2OE.因为AH//CD,CD//OE,所以AH//OE.可得AHG/∽EOG/.所以////21AHAGHGOEGEGO.由//21AGGE,及重心性质可知点G/就是ABC的重心,ABCDOEHG即G/与点G重合.所以,G、O、H三点共线,且满足3OHOG.六、蝴蝶定理10.蝴蝶定理及其证明定理:如图,过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF,连接CF和ED,分别交AB于P、Q,则PM=MQ.证明:过点M作直线AB的垂线l,作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/,交线段AB于点Q/.连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/.据圆的性质和图形的对称性可知:MF/Q/=MFP,F/Q/M=FPM;且FF///AB,PM=MQ/.因为C、D、F/、F四点共圆,所以CDF/+CFF/=1800,而由FF///AB可得Q/PF+CFF/=1800,所以CDF/=Q/PF,即MDF/=Q/PF.又因为Q/PF=PQ/F/,即Q/PF=MQ/F/.所以有MDF/=MQ/F/.这说明Q/、D、F/、M四点共圆,即得MF/Q/=Q/DM.ABCDEFPQMC/F/Q/因为MF/Q/=MFP,所以MFP=Q/DM.而MFP=EDM,所以EDM=Q/DM.这说明点Q与点Q/重合,即得PM=MQ.此定理还可用解析法来证明:想法:设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数.证:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,M点是坐标原点.设直线DE、CF的方程分别为x=m1y+n1,x=m2y+n2;直线CD、EF的方程分别为y=k1x,y=k2x.则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为(y–k1x)(y–k2x)+(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0.整理得(+k1k2)x2+(1+m1m2)y2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0.由于C、D、E、F四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必须ABCDEFPQMxy+k1k2=1+m1m2≠0,且(k1+k2)+(m1+m2)=0.若=0,则k1k2=1,k1+k2=0,这是不可能的,故≠0;又y轴是弦AB的垂直平分线,则圆心应落在y轴上,故有(n1+n2)=0,从而得n1+n2=0.这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数,即得PM=MQ.注:利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点,它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题.如本题,四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程,问题瞬息间得以解决,真是奇妙.运用它解题,不拘泥于小处,能够从整体上去考虑问题.另外,待定系数法在其中扮演了非常重要的角色,需注意掌握其用法.

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