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76第四章中心场束缚态问题§4.1前言自然界存在着多种性质的相互作用，昀常见的是两体相互作用。而两体相互作用中昀常见的是电荷间的库仑作用，天体间的万有引力作用。一般说来，两体相互作用势可表示为()()1122,,Vrtrttττ−−⎡⎤⎣⎦vv。在非相对论量子力学中，势中的1rv和2rv均为t时刻的值()()12,,Vrtrtt⎡⎤⎣⎦vv进一步，由于时间均匀性质，不存在关于时间的绝对标架。当两个粒子组成孤立体系时，相互作用势的表达式将简化成为12(,)VVrr=vv再进一步，由于空间的均匀性质，不存在关于空间的绝对标架。当两个粒子组成孤立体系时，势将简化成只取决于它们的相对位置VVrr=−()vv12昀后，孤立体系本来并没有绝对方向（或优先方向），在没有外场破坏空间各向同性的情况下，势再简化成为只与粒子间连线长度有关，)r(V|)rr(|VV≡−=21vv有关分析详见§6.2节。回到两体相互作用为VVrr=−()vv12的一般情况。这时量子力学中的两体问题由下面哈密顿量决定()())r(Vmm)rr(VmpmpHvhhvv+Δ−Δ−=−++=222112212221212222(4.1)这里()222222iiiizyx∂∂+∂∂+∂∂=Δ，i=1,2。由于两粒子间的相互作用V中耦合了两个粒子的坐标，体现了它们运动之间的动力学关联。和经典力学十分相似，量子力学中的两体问题也可以通过引入它们的质心坐标和相对坐标1，把它们（作为整个体系）的质心运动和彼此相对运动这两部分运动分离开。也即令（“Jacobi坐标”的特例）vvvRmrmrmm=++112212，vvvrrr=−21(4.2b)则1这是Jacobi坐标在两粒子情况下的特例。一般多粒子系统的Jacobi坐标参见布洛欣采夫《量子力学基础》，俄文版第581页。77()())(2222rVMHrRvhh+Δ−Δ−=μ(4.2a)这里Mmm=+12，μ=+mmmm1212(4.2c)M是总质量，μ是折合质量。注意，经这样代换之后，哈密顿量H被分成相互不关联的两项之和HHHRr=+。这里()RRMHΔ−=22h，())(22rVHrrvh+Δ−=μ。由分离变量可以得出:如果H可以分成互不关联的几部分之和，相应的能量本征值就可以分成互不关联的几部分之和，而波函数就能分解成互不关联的几部分之积。情况能够如此是因为，这时可令ΨΨ(,)(,)()()vvvvvvrrRrRr12==⋅ϕψ(4.3)于是此时两体系统定态dingeroSchr&&方程成为()rHRRHrrRHrRHrRrRvvvvvvvvψϕϕψψϕψϕ)()()()()()()(+=+=ERrϕψ()()vv等式两边同除以ϕψ()()vvRr，得11ϕϕψψ()()()()vvvvRHRrHrERr+=左边两项分别属于独立坐标vR和vr，因此必定各自等于常数ER、Er,它们的和为E。即得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−==+Δ−=Δ−)()()()()()(2)()(222rEErErrVrRERMRrrRRvvvvvhvvhψψψψμϕϕ(4.4)第一个方程表明，这两个相互作用着的微观粒子，作为一个整体(用它们质心坐标表示)是自由运动。它们作为一个整体没有受到外界作用。第二个方程表明，两体的相对运动，当相互作用只和它们之间的连接矢量vvvrrr21−=有关时，只要将质量替换成折合质量,即可转化为单体运动。质心坐标vR的运动问题称运动学问题，因为它不涉及相互作用；关于相对坐标vr的运动则称动力学问题，因为它依赖于相互作用。通常对运动学问题不感兴趣，只对包含相互作用的动力学问题感兴趣。采用Jacobi坐标坐标和折合质量后，两体动力学问题描述得到了简化：转化为以折合质量出现的、在固定力心Vr()v中的单体运动问题。在求出两粒子相对运动后，乘以它们质心运动，并做(4.2b)逆变换，即得它们运动的完整描述。下面只研究动力学问题，并记()VVr=v。78§4.2轨道角动量及其本征函数许多常见的，如库仑势和各向同性谐振子情况下，Vr()v可以简化成相对于坐标原点为各向同性的中心势Vr()。将方程(4.4)中描述相对运动ψ()vr的方程中EER−改记为E并略去()rΔ顶标，相对运动方程成为2()(),()2HrErHVrψψμ==−Δ+hvv(4.5)在绕原点的转动变换下，正如rrr2=⋅vv一样，Δ=∇⋅∇也表现为一个标量，即转动不变，势Vr()也就不变。因而H在绕原点转动变换下保持不变。可以证明:粒子在中心场运动时其轨道角动量vL和L2是守恒量。比如L2，用球坐标表述H和L2即能清楚看出2L是守恒的。因为，()()()rVrrVrrrrHr+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+Δ−≡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∂∂−=2,22222222212sin1sinsin1112ϕθμ∂ϕ∂θ∂θ∂θ∂θ∂θμhh)(22222rVrLr++Δ−=μμh(4.6)这里，L2为轨道角动量平方算符2),(22ψθ∇−=hL(4.7)由于它只对角变数作用，它和H是对易的，即[]0,2=LH这说明，在任何形式的中心场Vr()中运动的粒子，其轨道角动量平方L2都是一个守恒量。由直接计算可得[],,,,,xyzyzxzxyLLiLLLiLLLiL⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦hhh,ijijkkLLiLε⎡⎤=⎣⎦h(4.8)其中ijkε是Levi-Civita张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号，vvhvLLiL×=(4.9)因为,2222zyxLLLL++=用三个分量间的对易规则，可得[][][]LLLLLLxyz2220,,,===(4.10)于是，考虑到球坐标中Lx，Ly，Lz同样都只涉及对θ、ϕ的求导数，不涉及对径向r求导，按(4.6)式可知:中心场vL的三个分量也都守恒，即有[]()zyxiLHi,,0,==有时也引入如下升降算符L±来代替Lx和Ly:LLiLxy+=+，LLiLxy−=−(4.11)这时可得[]LLLz+−=,2h79[]LLLz,±±=±hzzLLLLLhmm22+=±(4.12)()222zLLLLLL−=++−−+有关这些算符的进一步运算可见第七章第二节的叙述。现在讨论L2本征函数和本征值问题。由上面对易关系看出，vL的任何两个分量彼此都是不对易。按测量公设，不可能同时测准vL三个分量中的任何两个。或者说，不存在这种状态波函数，它既是Lx的本征态，又是Ly的本征态，等等（有一个例外情况）。但vL2和三个分量都对易，所以L2和vL中的任一分量可以同时测量。于是可以寻找这样的状态波函数，它是L2和Lz的共同本征函数。假定它为函数),(ψθY，于是有YYLα=2YYLzβ=这里α、β是相应的本征值。用球坐标表示即为YYαψθ=∇−2),(2hYYiβ∂ϕ∂=−h满足这两个方程的解是球谐函数Ylm(,)θϕ，())|(|,)(cos412)!()!(1),(lmePlmlmlYimmlmlm≤+⋅+−−=ϕθπψθ(4.13)相应的本征值为α=+ll()12h，β=mh。其中缔合Legendre多项式采用Ferrer定义，Pxlxddxxlmlmlmlml()!()()=⋅−−++1211222，(||ml≤)1(4.14)注意球谐函数在球面上是正交归一的YYddlmlmllmm′′∗′′∫∫=(,)(,)sinθϕθϕθθϕδδππ002(4.15)并且有),()1(),(,ϕθϕθmlmlmYY−∗−=(4.16)()()),(1,,ϕθϕπθπmlllmYY−=+−综上所述，昀后可得LYllYlmlm221(,)()(,)θϕθϕ=+h(4.17)LYmYzlmlm(,)(,)θϕθϕ=h(4.18)1见郭敦仁“数学物理方法”，第279、286、287页，人民教育出版社，1979年。此处的Pxlm()也即Abramowitz书P.332中的Pxlm()。注意，Pxlm()还有另一定义，称Hobson定义，比此处多()−m因子。另外，Ylm(,)θϕ还有另一定义，与此处相差一个因子()||−−mmli2，见朗道《量子力学》，第112页。80⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==.,,1,0,1,,,2,1,0llmlLLL前几个()ϕθ,lmY的表达式如下：()πϕθ41,00=Y()()()ϕϕθπϕθθπϕθθπϕθiieSinYCosYeSinY−−==−=83,,43,,83,111011()()()()(),815,,131615,,815,,3215,12220212222ϕϕϕθθπϕθθπϕθθθπϕθθπϕθiiieCosSinYCosYeCosSinYeSinY−−−=−===()ϕθπϕθ22223215,ieSinY−−=这里l称为轨道角动量量子数，m称为磁量子数（其物理解释见下节）。对一个给定的l，相应的m可以取()21l+个不同的值，对应于()21l+个不同的正交归一态。§4.3几个一般分析上面论述了中心场Vr()情况下，轨道角动量vL守恒，从而波函数的(,)θϕ部分是球谐函数Ylm(,)θϕ并且lm是守恒量子数，可用它们对态进行标记和分类。在求解一些具体的中心场问题之前，这里再进行一些不依赖于Vr()具体形式的一般讨论。1,m量子数简并和离心势球坐标下的dingeroSchr&&方程为222212[()]0rLEVrrμψψψΔ−+−=hh(4.19a)可设波函数为变数分离的形式，ψθϕθϕ(,,)()(,)rRrYlm=(4.19b)代入上面的方程，得LYllYrddrrRllrREVrRlmlm22222211120(,)()(,)()()[()]θϕθϕμ=+−++−=⎧⎨⎪⎩⎪hh(4.20)将波函数的径向部分记为Rrr=χ()，则χ()r的方程为0)(]}2)1()([{2)(222=++−+′′rrllrVErχμμχhh(4.21)这里指出两点。第一，径向波函数方程中不含磁量子数m，于是，由此方程得出E的允许值中就不包含m。就是说，中心场Vr()的能级关于磁量子数m是简并的，简并度为()21l+重。这是因为，现在的问题是81绕坐标原点转动对称的，并无特殊方向可言，目前的z轴只是予先任意指定的，实际也不应当特殊；因此轨道角动量对这个z轴投影的大小不应当影响系统的能量。这也就是说，若要解除这种简并，必须另加外场以破坏现在绕原点的各向同性性质。第二，正如从χ()r方程中所见到的，r方向的有效势为VVrllreff=++()()1222hμ(4.22)第二项llr()+1222hμ只当轨道角动量不为零时才存在，常称为离心势。这样称呼的理由是：它在r=0附近构筑了很高的势垒,产生自中心向外的斥力，使粒子在r=0附近出现的几率明显下降1，而且l越大这种现象越突出。这和经典图象相符合，经典力学有心力场的有效势形式也是如此2。2,径向波函数r→0时的边界条件3这个自然边条件共有三种。即i,||[]ψ22rdrdOΩ=∫有限，或()[]drr∫02χ平方可积。ii,rrψ→⎯→⎯⎯00，或χ()rr→⎯→⎯⎯00。iii,ψ()0或R()0有限，或χ()rr→⎯→⎯⎯00不慢于r。这三个条件彼此不同，一个比一个苛刻。到底应当用哪一种?物理的和数学的根据如何?从dingeroSchr&&方程在直角坐标和球坐标中解集合的等价性出发加以探讨，就可以解决这个不确定性。众所周知，球坐标中的拉普拉斯算符在r=0点是不确定的。从直角坐标转入球坐标时，拉普拉斯算符经过了除以r(注意它的定义域包含零，为[,)0+∞)这种带有奇性的运算。于是有理由怀疑，同一个dingeroSchr&&方程在球坐标中某个解是否也是它在直角坐标下的解?事实是不一定。以自由粒子定态dingeroSchr&&方程为例，下面表达式rirEiererrαμψ±±==11)(22h的确能满足球坐标中能量为E的自由粒子dingeroSchr&&方程−=h2222μψψddrrEr()()1由后面知，当r→0时，Rr()将以rl→0。2例如参见V.巴杰，M.奥尔森,“