2011届高考数学二轮复习课件5.3 平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积要点梳理1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积（或内积），记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两非零向量a与b平行的充要条件是.|a|·|b|cosθa·b=|a||b|·cosθ0a·b=0a·b=±|a||b|基础知识自主学习2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影的乘积.3.平面向量数量积的重要性质（1）e·a=a·e=；（2）非零向量a，b，a⊥b；（3）当a与b同向时，a·b=；当a与b反向时，a·b=,a·a=，|a|=;（4）cosθ=；（5）|a·b||a||b|.|b|cosθ|a|cosθa·b=0|a||b|-|a||b|a2aa≤|b||a|ba4.平面向量数量积满足的运算律（1）a·b=（交换律）；（2）（a）·b==（为实数）；（3）（a+b）·c=.b·aa·ba·ba·c+b·c5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=，由此得到（1）若a=（x，y）,则|a|2=或|a|.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|=.（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b.x1x2+y1y2x2+y2221221)()(yyxxx1x2+y1y2=022yx基础自测1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（）A.B.C.D.解析设a和b的夹角为θ，|a|cosθ=|a|C1351356565|b||a|ba.56565137)4(73)4(2222.若|a|=2cos15°，|b|=4sin15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于（）A.B.C.D.解析B233322130cos||||baba360sin230cos30sin430cos15sin415cos23.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）等于（）A.（26，-78）B.（-28，-42）C.-52D.-78解析a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78).A4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（）A.1B.2C.3D.4解析由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.D5.（2009·江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k=.解析∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1),(a-c)⊥b，b=(1,3),∴(3-k)×1-3=0,∴k=0.0题型一平面向量的数量积【例1】已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin)，且x∈[].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围.23232x2x4π3π，思维启迪题型分类深度剖析,2cos2sin23sin2cos23cos)1(xxxxxba解xxxxxxxxxxxxcos],4π,3π[|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba＞0∴|a+b|=2cosx.(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[]，∴≤cosx≤1，∴当cosx=时，f(x)取得最小值为-；当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1.2123214π,3π2123探究提高（1）与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.（2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|，然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ，若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.知能迁移1（1）已知O是△ABC内部一点，=0，且∠BAC=30°，则△AOB的面积为（）A.2B.1C.D.解析由=0得O为△ABC的重心.∴S△AOB=S△ABC.又cos30°=2，得=4.∴S△ABC=sin30°=1.∴S△AOB=.DOCOBOA,32ACAB2131OCOBOA31||||ACABACAB||||ACAB||||ACAB21313（2）（2009·重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2，则向量a与b的夹角是（）A.B.C.D.解析∵a·(b-a)=a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3∴cos〈a，b〉=∴a与b的夹角为.C6π4π3π2π,21613|b||a|ba3π题型二利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=（1）求证：a⊥b；（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时的最小值.（1）可通过求a·b=0证明a⊥b.（2）由x⊥y得x·y=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值.),2π(cos()),2πsin(t2tk思维启迪t2tk(1)证明∵a·b=cos(-θ)·cos(-θ)+sin(-θ)·sin(-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0.∴a⊥b.（2）解由x⊥y得x·y=0,即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，∴-ka2+（t3+3t）b2+［t-k（t2+3）］a·b=0，∴-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0.又|a|2=1，|b|2=1，∴-k+t3+3t=0，∴k=t3+3t.∴故当t=时，有最小值.2π2π.411)21(3322232tttttttttk21ttk2411探究提高（1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.知能迁移2已知平面向量a=（-,）,b=(-,-1).(1)证明：a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数.(1)证明a·b=·(,-1)∴a⊥b.2123)23,21(3,0)1(23)3()21(3(2)解∵x⊥y,∴x·y=0,即［a+(t2-2)b］·（-ka+t2b）=0.展开得-ka2+［t2-k(t2-2)］a·b+t2(t2-2)b2=0,∵a·b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,∴-k+4t2（t2-2）=0,∴k=f(t)=4t2(t2-2).题型三向量的夹角及向量模的问题【例3】（12分）已知|a|=1，a·b=，（a-b）·（a+b）=，求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.解（1）∵（a-b）·（a+b）=，∴|a|2-|b|2=，又∵|a|=1，∴|b|=3分设a与b的夹角为θ，则cosθ=∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.6分21212121.2221||2a,2222121||||baba5分（2）∵（a-b）2=a2-2a·b+b2∴|a-b|=8分（a+b）2=a2+2a·b+b2=1+2×∴|a+b|=,设a-b与a+b的夹角为，10分则cos=12分,21212121.22,252121210.552102221(|ba||b-a|b)ab)-(a探究提高（1）求向量的夹角利用公式cos〈a，b〉=.需分别求向量的数量积和向量的模.（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.①|a|2=a2=a·a;②|a±b|2=a2±2a·b+b2;③若a=(x,y)，则|a|=.||||baba22yx知能迁移3已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a+b|;②|4a-2b|;(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？解由已知，a·b=4×8×(-)=-16.（1）①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.213②|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162,∴|4a-2b|=16.（2）若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+（2k-1）a·b-2b2=0.16k-16（2k-1）-2×64=0，∴k=-7.3方法与技巧1.数量积a·b中间的符号“·”不能省略，也不能用“×”来替代.2.要熟练类似（a+μb)·(sa+tb)=sa2+(t+μs)a·b+μtb2的运算律（、μ、s、t∈R）.3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.思想方法感悟提高失误与防范1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0a⊥b.3.a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.即消去律不成立.4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈〉应为120°,而不是60°.BCAB,一、选择题1.（2009·宁夏文，7）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数的值为（）A.B.C.D.解析∵a=(-3,2),b=(-1,0),∴a+b=(-3-1,2),a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）.由（a+b）⊥(a-2b),知4+3+1=0.∴=-A7171616171定时检测2.已知向量a,b的夹角为120°，|a|=1，|b|=5，则|3a-b|等于（）A.7B.6C.5D.4解析2)3(|3|baba.749)21(562596||||922babaA3.设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a|·|b|·sinθ,若a=(-,-1),b=(1,)，则|a×b|等于（）A.B.2C.2D.4解析∵|a|=|b|=2，a·b=-2，∴cosθ=又θ∈［0，π］，∴sinθ=∴|a×b|=2×2×=2..2322322121B333334.已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且a⊥b，又知（2a+3b）⊥(ka-4b)，则实数k的值为（）A.-6B.-3C.3D.6解析由（2a+3b）·（ka-4b）=0，得2k-12=0,∴k=6.D5.（2009·全国Ⅰ文，8）设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=（）A.150°B.120°C.60°D.30°解析∵a+b=c,∴|c|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2.又|a