2011届高考数学第一轮复习课件【函数】第5课时 指数函数

第5课时指数函数1.根式的概念基础知识梳理根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有，它们互为负数没有偶次方根xn＝a正数负数两个相反数na±na(a＞0)基础知识梳理nan与(na)n是否相同？【思考·提示】不同，(na)n等于a，而nan当n为奇数时为a，n为偶数时为|a|.2．分数指数幂基础知识梳理(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．基础知识梳理(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定a－mn＝1amn(a0，m，n∈N*且n1)．3．有理指数幂的性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．基础知识梳理4．指数函数及其性质(1)一般地，函数叫做指数函数，其中x是，函数的定义域是R.(2)一般地，指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象与性质如下表所示：基础知识梳理y＝ax(a0且a≠1)自变量基础知识梳理a10a1图象定义域R基础知识梳理a10a1值域性质(1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1(2)当x0时，；x0时，(2)当x0时，；x0时，(3)在(－∞，＋∞)上是(3)在(－∞，＋∞)上是(0，＋∞)y10y10y1y1减函数增函数1．下列各式正确的是()三基能力强化A．－40＝1B．(5－12)2＝5C．(－3m－n)2＝9m－nD．(－2)－1＝12答案：C三基能力强化2．(教材习题改编)函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是()A．定义域是R，值域是RB．定义域是R，值域是(0，＋∞)C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)D．以上都不对答案：C3.下列四种说法中，正确的是()B．指数函数y＝ax的最小值是0C．对任意的x∈R，都有3x＞2x答案：D三基能力强化A．y＝2x＋1和y＝2x2都是指数函数D．函数y＝ax与y＝(1a)x的图象关于y轴对称4．函数y＝ax－1(0＜a＜1)的图象必过定点________．答案：(0,0)三基能力强化5．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．答案：m＞n三基能力强化化简原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序．说明：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质来运算．课堂互动讲练考点一指数式的化简与求值课堂互动讲练例1化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)(14)－12·(4ab－1)30.1－2(a3b－3)12；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.课堂互动讲练【思路点拨】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合再创设条件去求．课堂互动讲练【解】(1)原式＝412·432100a32·b－32·a－32·b32＝425a0·b0＝425.(2)原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12b－32.【规律小结】对于结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，则结果用根式的形式表示，如果题目以分数指数幂的形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示．结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．课堂互动讲练1．同底数的指数结构比较大小，可以直接利用指数函数的单调性进行分析．课堂互动讲练考点二比较大小问题2．若底数不同而指数相同比较大小，可以利用指数函数的图象进行分析．3．若指数结构底数不同，指数不同可以考虑中间数的方法，如：1,0，或其他与两式子都有联系的数或式，转化比较大小．课堂互动讲练课堂互动讲练例2设y1＝40.9，y2＝80.44，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2【思路点拨】利用指数式的运算化为同底．课堂互动讲练【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，＝21.5,1.81.51.32.∴根据指数函数的性质可得，y1y3y2.故选D.y3＝12－1.5【答案】D课堂互动讲练【名师点评】应先化为同底，然后根据指数函数的图象比较大小．1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝af(x)的值域．课堂互动讲练考点三指数函数的性质2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．课堂互动讲练课堂互动讲练例3求下列函数的定义域、值域及其单调区间：(1)f(x)＝3x2－5x＋4；(2)g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5.课堂互动讲练【思路点拨】(1)求定义域→讨论u＝x2－5x＋4的值域与单调性→f(x)的值域、单调区间．(2)求定义域→令t＝(12)x，讨论g(t)的有关性质→求得g(x)的性质．【解】(1)依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4，或x≤1，∴f(x)的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．课堂互动讲练令u＝x2－5x＋4，得u≥0，而f(x)＝3x2－5x＋4≥30＝1，∴函数f(x)的值域是[1，＋∞)．∵u＝(x－52)2－94，∴当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数．而3＞1，∴由复合函数的单调性可知，课堂互动讲练f(x)＝3x2－5x＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．(2)由g(x)＝－(14)x＋4(12)x＋5＝－(12)2x＋4(12)x＋5，∴函数的定义域为R.∴h(t)＝－t2＋4t＋5＝－(t－2)2＋9(t＞0)．∵t＞0，∴h(t)＝－(t－2)2＋9≤9，等号成立的条件是t＝2，即g(x)≤9，等号成立的条件是∴g(x)的值域是(－∞，9]．课堂互动讲练令t＝(12)x(t＞0)，(12)x＝2，即x＝－1，由h(t)＝－(t－2)2＋9(t＞0)，∴要求g(x)的增区间实际上是求h(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求h(t)的增区间．∵h(t)在(0,2]上递增，在[2，＋∞)上递减，课堂互动讲练而t＝(12)x是减函数，∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增，故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)．课堂互动讲练由0＜t＝(12)x≤2可得x≥－1，由t＝(12)x≥2可得x≤－1.【误区警示】(1)利用换元法解决问题时，易忽视中间变量的取值范围，如(1)中u≥0，(2)中t＞0；(2)第(2)问中求单调区间是利用复合函数的性质确定自变量x的范围，易错误得出t的范围．课堂互动讲练课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立．求b的取值范围．已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．课堂互动讲练【思路点拨】(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决；(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值．【解】(1)函数定义域为R，关于原点对称．所以f(x)为奇函数.3分(2)当a1时，a2－10，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数.5分当0a1时，a2－10，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，课堂互动讲练又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，从而y＝ax－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增.7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，课堂互动讲练∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1].12分课堂互动讲练∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，10分【易错警示】在解答过程中易出现不判断函数的定义域，直接利用f(－x)与f(x)关系，造成失分或在单调性判断上不去对a分类讨论，或者是在f(x)≥b恒成立问题上找不出突破口，导致解不出．导致此种错误的原因是没有熟练掌握奇偶性与单调性的定义，以及恒成立问题的等价转化思想的应用．课堂互动讲练(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立．课堂互动讲练高考检阅(本题满分12分)已知f(x)＝1ax－1＋12x3(a0且a≠1)．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}.2分(2)对于定义域内任意x，有课堂互动讲练f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝f(x)．∴f(x)是偶函数.6分课堂互动讲练＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1ax－1＋12x3(3)当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，课堂互动讲练∴ax－10，1ax－1＋120，又x0时，x30，∴x31ax－1＋120，即当x0时，f(x)0.7分又由(2)，f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，当x0时，－x0，有f(－x)＝f(x)0成立．综上知a1时，f(x)0在定义域上恒成立.9分课堂互动讲练当x0时，1ax0，ax＋10，ax－10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，－x0，f(－x)＝f(x)0，也不满足题意．综上，所求a的范围是a1.12分课堂互动讲练对于0a1时，f(x)＝(ax＋1)x32(ax－1)，规律方法总结1．对于根式记号na，要深刻理解以下几点(1)n∈N*，且n1；(2)当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内有唯一的一个n次方根，(na)n＝a；(3)若一个数x的n次方等于a，则规律方法总结x＝na(n为奇数)±na(n为偶数，a为正数)不存在(n为偶数，a为负数)0(a＝0)2．学习指数函数的图象和性质应注意(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．规律方法总结规律方法总结(2)指数函数y＝ax与y＝(1a)x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入