10.5 向量函数 空间曲线(1-22)

§10.5向量函数空间曲线1º向量函数向量函数:从Rn→R3(或R2,或Rm)的映射称为向量函数例如})()()({)(tz,ty,txtr)(RR31}),(),(),({),(vuz,vuy,vuxvur)(RR32}),,(),,(),,({),,(zyxR,zyxQ,zyxPzyxf)(RR33本节我们仅讨论的向量函数RR31例求坐标原点处质量为m0的质点对位于点),,(zyxM处质量为m的质点的引力FozyxM解由万有引力定律,的大小F2220zyxmmGF其方向},,{zyxzyxMOF2221所以FFF},,{)(zyxzyxmmG232220F称为引力场2º空间曲线一元向量函数1、一元向量函数],[})()()({)(bat,tz,ty,txtr称为一元向量函数.如果在[a,b]上连续,)()()(tz,ty,tx则称为[a,b]上连续的向量函数)(tr2、空间曲线的表示ozyxC)(tr(一元向量函数)空间曲线的向量形式表示:ktzjtyitxtr)()()()(tz,ty,tx})()()({(1)P将(1)用坐标分量表示得:(2))(txx)(tzz)(tyyC:(2)式称为空间曲线的参数方程表示一般地,两空间曲面z,y,xG01)(z,y,xG02)(相交所得的交线为一空间曲线C(3)式称为空间曲线的一般方程表示0z,y,xG)(10z,y,xG)(2C:(3)例画出曲线C:的图形221yxz022yxxozyx解022yxx221yxz是单位半球面2222121)()(yx母线平行于z轴的圆柱面3、空间曲线在坐标面上的投影设C是一空间曲线,是一平面,由C上的点在上的投影点形成的曲线称为C在上的投影曲线C'C经过曲线C且与平面垂直的柱面Γ称为C到上的投影柱面可以看到:C在上的投影曲线,即为其投影C'柱面Γ与的交线因此,计算投影曲线的问题,关键在于C到C'的投影柱面的计算z,y,xF01)(z,y,xF02)(设曲线C:(4)(5)下面计算C在xy平面上的投影曲线由于C到xy平面上的投影柱面的母线与z轴平行,所以投影柱面的方程不含变量z(而且经过C)若从(4)式中解得,z,y,xF01)(),(yxfz代入(5)式有yxf,y,xF02)),(((6)可以看到:柱面(6)是一经过曲线C,母线与z轴平行的柱面,即为C到xy平面的投影柱面所以,C在xy平面的投影曲线为yxf,y,xF02)),((0z同理,可计算C在yz平面(从(4),(5)中消去x),xz平面(从(4),(5)中消去y)上的投影曲线例求曲线C:2222azyx022axyx(1)(2)在各坐标面上的投影曲线解由于圆柱面经过C,且母线022axyx平行于z轴,于是C在xy平面上的投影曲线为022axyx0z(1)(2)得22aaxz(3)C在xz平面上的投影曲线:0y22aaxz再从(3)得)(221zaax代入(1)得C在yz平面上的投影曲线0x02224)(zyaz3º向量函数的导数设曲线C:t,tz,ty,txtr})()()({)(其中x(t),y(t),z(t)在[,]上可导问题:计算在曲线C上的一点M0处的切线方程o)(0tr)(ttr0Ml0M设M0所对应的参数为t0,则tz,ty,txOMtr})()()({)(00000下面考虑C在M0处切线方向的计算l给t0一增量∆t,则t0+∆t对应C上的点为Mttz,tty,ttxttrOM})()()({)(0000tzttz,tytty,txttx})()()()()()({000000割线的方向为MM0)()(00trttrr也可表示为trttzttz,ttytty,ttxttx})()()()()()({000000可以看到,当∆t→0时,M→M0,ltr所以,曲线C在M0处切线的方向ttrttrtrltt)()(limlim0000ttzttz,ttytty,ttxttxt})()()()()()({lim0000000tz,ty,tx})(')(')('{000即tz,ty,txl})(')(')('{000向量函数的导数:若函数x(t),y(t),z(t)在t0处可导,我们称ttrttrtrtt)()(limlim0000ttzttz,ttytty,ttxttxt})()()()()()({lim0000000tz,ty,tx})(')(')('{000为向量函数在t0处的导数,记为,)(trr)('0tr即tz,ty,txtr})(')(')('{)('0000向量函数导数的几何意义:当时,表示曲线00)('tr)('0tr)(trr在t0所对应的点M0处切线的切向量,其方向为t增加的方向向量函数的微分:dttrrd)('})(')(')('{)}(')(')('{dttz,dtty,dttxdttz,ty,txrd若记x=x(t),y=y(t),z=z(t),则zd,yd,xdrd}{且有222)()()(zddyxdrd曲线的切线方程:曲线,tz,ty,txtr})()()({)(,tz,ty,txM))()()((0000则曲线在M0处的切线方程)(')()(')()(')(000000tztzztytyytxtxx3º向量函数的积分空间曲线的弧长设向量函数],[})()()({)(bat,tf,tf,tftf321原函数:若存在向量函数使在[a,b]上成立)(tF)()('tftF则称是区间[a,b]上的一个原向量函数)(tF)(tf(简称原函数)向量函数的不定积分:若是的一个原)(tF)(tf)(tf函数,向量函数的原函数的一般表达式ctF)(称为的不定积分,记为)(tfdttf)(向量函数的定积分:})()()({)(babababadttf,dttf,dtfdttf321若是的一个原函数,则有以下)(tF)(tf牛顿--莱布尼兹公式)()()()(aFbFtFdttfbaba})()(,)({)(dttf,dttfdttfdttf321即ctFdttf)()(空间曲线弧长的计算)(ttrMo)(tr0MCs设空间曲线tz,ty,txtrC})()()({)(:)('tr是[,]上的光滑曲线(在[,]上连续,0)('tr且)设t→M0,t+∆t→M,则割线M0M)()(trttrrMM0222)]()([)]()([)]()([tzttztyttytxttxstzyx232221)]('[)]('[)]('[其中介于t,t+∆t之间321,,当连续时,,)(',)(',)('tztytx100MMstlimtsdtdst0limtMMMMst000limtMMt00lim232221)]('[)]('[)]('[limzyx0t222)]('[)]('[)]('[tztytx即dttztytxds222)]('[)]('[)]('[积分得弧长计算公式:)()]('[)]('[)]('[dttztytxs222同时可知222)()()(dzdydxrddsdttztytx222)]('[)]('[)]('[从而有222)()()(dzdydxrdds即dttrdttrrdds)(')(')()(dtt'rrddss例求圆柱面螺旋线vt,tR,tRtr}sincos{)(在[0,t]区间上的弧长解ttdttztytxdttrs02220)]('[)]('[)]('[)('tdtvtRtR0222)()cos()sin(tdtvR0222tvR222