线性代数教案

线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案第2页，共40页授课类型理论课授课时间3节授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换本授课单元教学目标或要求：1.会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。2.知道n阶行列式的定义。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义1.计算排列的逆序数的方法设12nppp是1,2,,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比1p大的数排在1p前面，记为1t；再看有多少个比2p大的数排在2p前面，记为2t；……最后看有多少个比np大的数排在np前面，记为nt；则此排列的逆序数为12ntttt。2.n阶行列式1212111212122212()12(1)nnnntppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa其中12nppp为自然数1,2,,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()nppp求和。n阶行列式D中所含2n个数叫做D的元素，位于第i行第j列的元素ija，叫做D的(,)ij元。3.对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122aaDaaaaaa第3页，共40页111213212223112233122331132132313233132231122133112332aaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1)和式中的任一项是取自D中不同行、不同列的n个元素的乘积。由排列知识可知，D中这样的乘积共有!n项。(2)和式中的任一项都带有符号(1)t，t为排列12()nppp的逆序数，即当12nppp是偶排列时，对应的项取正号；当12nppp是奇排列时，对应的项取负号。综上所述，n阶行列式D恰是D中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。例：写出4阶行列式中含有1123aa的项。解：11233244aaaa和11233442aaaa。例：试判断142331425665aaaaaa和324314512566aaaaaa是否都是6阶行列式中的项。解：142331425665aaaaaa下标的逆序数为4312650122016，所以142331425665aaaaaa是6阶行列式中的项。324314512566aaaaaa下标的逆序数为(341526)(234156)538，所以324314512566aaaaaa不是6阶行列式中的项。例：计算行列式0001002003004000D解：0123(1)123424D本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业：§1P.261(1)(3)§22(5)(6)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）线性代数课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则本授课单元教学目标或要求：1．知道n阶行列式的性质。2．知道代数余子式的定义和性质。3．会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式。4．知道克拉默法则。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：1.行列式的性质(1)行列式D与它的转置行列式TD相等。(2)互换行列式的两行（列），行列式变号。(3)行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。(4)行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。(5)若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。2.行列式的按行（列）展开(1)把n阶行列式中(,)ij元ija所在的第i行和第j列划去后所成的1n阶行列式称为(,)ij元ija的余子式，记作ijM；记(1)ijijijAM，则称ijA为(,)ij元ija的代数余子式。(2)n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第i行展开：1122(1,2,,)iiiiininDaAaAaAin；或可以按第j列展开：1122(1,2,,)jjjjnjnjDaAaAaAjn.(3)行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即11220,ijijinjnaAaAaAij，或11220,ijijninjaAaAaAij.3.克拉默法则含有n个未知元12,,nxxx的n个线性方程的方程组第5页，共40页11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb当12,,,nbbb全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。(1)如果方程组的系数行列式0D，那么它有唯一解：(1,2,,)iiDxinD，其中(1,2,,)iDin是把D中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式0D。(3)如果齐次线性方程组的系数行列式0D，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知元个数；(2)系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.4.一些常用的行列式(1)上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即11121112222122112212nnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaa特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即11221122nnnnaaDaaaa.类似地，1(1)2,1212,111(1)nnnnnnnnaaDaaaa.(2)设11111kkkkaaDaa，11121nnnnbbDbb，则第6页，共40页111112111111110kkkkknnnknnnaaaaDDDccbbccbb.(3)范德蒙（Vandermonde）行列式122221212111112111(,,)()nnnnijnijnnnnxxxVxxxxxxxxxxx计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。例：课本P.12例7—例9例：课本P.21例13例：课本P.25例16本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：§5P.264(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2)(5)§6P.265(4)，7(3)(6)§7P.288(1)，9本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）第7页，共40页线性代数课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第二章矩阵及其运算§1矩阵§2矩阵运算§3逆矩阵§4矩阵分块法本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义,矩阵的加减法\数乘\转置\矩阵求逆\矩阵的行列式\分块矩阵等运算,了解矩阵多项式运算本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成,第一讲:§1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲:§3逆矩阵;第三讲:§4矩阵分块法第一讲:§1矩阵,§2矩阵的运算;基本内容:§1矩阵:一矩阵的定义,定义1由M×N个数),,2,1;,,2,1(njmiaij组成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵,简称M×N矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这M×N个数称为菊阵A的元素,简称为元,数ija位于矩阵A的第i行j列,称为矩阵A的(I,J)元,以数ija为(I,J)元的矩阵可简记为)(ija或nmija)(,M×N矩阵A也记着nmA.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵,n阶矩阵A也记作nA.只有一行的矩阵)(21naaaA称为行矩阵,又称为行向量,行矩阵也记作),,,(21naaaA第8页，共40页只有一列的矩阵nbbbA21称为列矩阵,又称为列向量.两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=)(ija,B=)(ijb是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即njmibaijij,2,1,,,2,1(),那么就称矩阵A与矩阵B相等,级作A=B元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.§2矩阵的运算一矩阵的加法定义2设有两个nm矩阵A=)(ija和B=)(ijb,那么矩阵A与B的和记着A+B,规定为mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C都是nm矩阵):(i)A+B=B+A;(ii)(A+B)+C=A+(B+C)A=)(ija的负矩阵记为-A=)(ijaA+(-A)=O规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)二矩阵的数乘定义3数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211第9页，共40页矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B为nm矩阵,,为数):(1))()(AA;(2)AAA)((3)BABA)(重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.三矩阵乘矩阵定义4设A=(ija)是一个sm矩阵,B=(ijb)是一个ns矩阵,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个nm矩阵C=(ijc),其中),,2,1;,,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij把此乘积记为C=AB且有sjjjisiibbbaaa2121),,,(ijskkjiks