线性代数知识点归纳(同济_第五版)

第1页共33页线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.ijijinjnAijaAaAaAij第2页共33页③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*00nnnnbbAbbbb第3页共33页④若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1例计算2-100-1300001100-25解2-100-1300001100-25=2-1115735-13-25⑤关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO1⑥范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx111例计算行列式第4页共33页⑦ab型公式：1[(1)]()nabbbbabbanbabbbabbbba⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系——称为递推公式，其中nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.第5页共33页⑩(数学归纳法)第6页共33页2.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；3.证明0A的方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；⑤、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM第7页共33页第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为mn矩阵.记作：ijmnAa或mnA同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为()ijAa.c.矩阵与矩阵相乘：设()ijmsAa,()ijsnBb,则()ijmnCABc，其中12121122(,,,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaabababb注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式00ABBAABA或B=0不成立.a.分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222ABABAB,1122nnnAAAb.用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；第8页共33页11112111111211221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbbababababbbabababBabbbabababc.用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaabababbbbaabababBbbbaabababd.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质：mnmnAAA，()()mnmnAA⑤矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作TA.a.对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵TAA.A是反对称矩阵TAA.b.分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD⑥伴随矩阵：1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA，ijA为A中各个元素的代数余子式.**AAAAAE,1*nAA,11AA.分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB*(1)(1)mnmnAABBBA矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABBATAA11()()TTAA()()TTAA矩阵可逆的性质：11()AA111()ABBA11AA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABBA1nAA11()()AAAA()()kkAA()()1()10()1nrAnrArAnrAn若若若ABABkkAAAAAAAE（无条件恒成立）第9页共33页2.逆矩阵的求法方阵A可逆0A.①伴随矩阵法1AAA○注：1abdbcdcaadbc1主换位副变号②初等变换法1()()AEEA初等行变换例求122212221的逆矩阵.解32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999rrrrrrrrrrrrrr1122999122212,212999221221999所以第10页共33页③分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA1111ACAACBOBOB1111AOAOCBBCAB④1231111213aaaaaa,3211111213aaaaaa⑤配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1ABBAEAB）例设方阵A满足矩阵方程220EAA,证明A及2EA都可逆,并求1A及12EA.解由220EAA得12EEAA,故A可逆,且112EAA.由220EAA也可得(2)(3)4EEEAA或1(2)(3)4EEEAA,故2EA可逆,且12EA1(3)4EA.3.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵4.初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式ijrr(ijcc)(,)Eij1(,)(,)EijEij(,)Eij1irk(ick)(())Eik11[()][()]kEikEi[()]Eikkijrrk(ijcck)(,())Eijk1[,()][,()]EijkEijk[,()]Eijk1☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.矩阵的秩关于A矩阵秩的描述：第11页共33页①、()rAr，A中有r阶子式不为0，1r阶子式(存在的话)全部为0；②、()rAr，A的r阶子式全部为0；③、()rAr，A中存在r阶子式不为0；☻矩阵的秩的性质：①()AOrA≥1;()0AOrA;0≤()mnrA≤min(,)mn②()()()TTrArArAA③()()rkArAk其中0④()(),,()0mnnsrArBnABrABBAx若若0的列向量全部是的解⑤()rAB≤min(),()rArB⑥若P、Q可逆，则()()()()rArPArAQrPAQ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()mnAxrABrBrAnABOBOAABACBC只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()nsrABrBrBnB在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrEOEOrArAAOOOO若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()rAB≤()()rArB,max(),()rArB≤(,)rAB≤()()rArB⑩()()AOOArrArBOBBO,()()ACrrArBOB☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法第12页共33页6矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXAB(I)或(II)ABEX初等行变换(I)的解法：构造()()AEBX初等列变换(II)的解法：构造TTTTAXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得第13页共33页第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n，若存在一组数12,,,nkkk使得1122nnkkk，则称是12,,,n的线性组合，或称称可由12,,,n的线性表示.线性表示的判别定理:可由12,,,n的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：①、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb有解②、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxaaaxb③、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；④、1122nnaxaxax（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)rArAn（n为未知数的个数或维数）第14页共33页2.设,,mnnsABA的列向量为12,,,n,B的列向量为